# 10 maart: TOZ schuifspanningen Gegeven is de volgende constructie en doorsnede ::::{grid} 2 :class-container: center-grid :::{grid-item} :columns: auto ```{figure-start} ./toz_data/constructie.svg :class: sticky-margin :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` De verdeelde belasting en oplegreacties grijpen aan in het normaalkrachtencentrum. ```{figure-end} ``` ::: :::{grid-item} :columns: auto ```{figure-start} ./toz_data/doorsnede.svg :align: center :class: sticky-margin :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Deze doorsnede moet als dunwandige doorsnede worden beschouwd. ```{figure-end} ``` ::: :::: Gevraagd zijn de schuifspanningen ten gevolge van buiging en wringing op een positieve doorsnede in $\rm{B}$ :::::{exercise} :label: TOZ_2 :nonumber: true Wat is de locatie van het normaalkrachtencentrum in $y$-richting? % Geef de coördinaten in het $y,z$-assenstelsel in $\rm{mm}$ ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown In de $y$-richting kan de locatie gevonden worden ten opzichte van de rechter wand: ```{figure} ./toz_data/statisch_moment.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` $$\bar y_{\rm{N.C.}} = \cfrac{S_{\bar y}}{A} = \cfrac{300 \cdot 12 \cdot \cfrac{300}{2}}{300 \cdot 12 + 300 \cdot 12} = 75 \, \rm{mm}$$ :::: ## Buiging :::::{exercise} :label: TOZ_3_5 :nonumber: true De volgende vraag gaat over de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede $\rm{B}$ ten gevolge van buiging. Wat is de absolute waarde van het statisch moment van het afschuivende gedeelte voor deze maximale schuifspanning? ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown De schuifspanning kan bepaald worden met het afschuivende gedeelte van de helft van de verticale wand: ```{figure} ./toz_data/afsnijden.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` $$ S_z^{\rm{a}} = 150 \cdot 12 \cdot 75 = 135000 \, \rm{mm^3} $$ :::: :::::{exercise} :label: TOZ_3 :nonumber: true Wat is de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede $\rm{B}$ ten gevolge van buiging? % Geef je antwoord in $\rm{MPa}$. ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown De maximale schuifspanning bevindt zich ter hoogte van het normaalkrachtencentrum in de verticale wanden: ```{figure} ./toz_data/verdeling.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Er geldt: $$I_{zz} = \frac{1}{12} \cdot 300 \cdot 12^3 + \frac{1}{12} \cdot 12 \cdot 300^3 = 27043200 \, \rm{mm}^4$$ en ```{figure} ./toz_data/VLS_1.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` $$ \begin{align*} \sum F_{\rm{v}} &= 0 \\ V_{\rm{B}} - 15024 \cdot 3 &=0 \\ V_{\rm{B}} &= 45072 \, \rm{N} \end{align*} $$ Dit geeft: $$\left| \tau \right| = \cfrac{\left| 45072 \cdot 135000 \right|}{12 \cdot 27043200} = 18.75 \, \rm{MPa}$$ :::: :::::{exercise} :label: TOZ_4 :nonumber: true Wat is/zijn de richting(en) van de maximale schuifspanning ten gevolge van alleen buiging op een positieve doorsnede in $\rm{B}$? % kies één of meerdere antwoorden aan ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown De dwarskracht werkt op een negatieve doorsnede omhoog, dus op een positieve doorsnede omlaag. Voor de eerder afgeleide spanningsverdeling moet de maximale schuifspanning dan ook naar beneden lopen :::: ## Wringing :::::{exercise} :label: TOZ_1 :nonumber: true Gegeven zijn drie 2D-weergaves van de constructie. Welk model is de juiste om de snedekrachten en oplegreacties te bepalen? ::::{grid} 3 :class-container: center-grid :::{grid-item} :columns: auto ```{figure-start} ./toz_data/constructie.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Optie 1 ```{figure-end} ``` ::: :::{grid-item} :columns: auto ```{figure-start} ./toz_data/optie2.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Optie 2 ```{figure-end} ``` ::: :::{grid-item} :columns: auto ```{figure-start} ./toz_data/optie3.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Optie 3 ```{figure-end} ``` ::: :::: ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown Het dwarskrachtencentrum ligt op het kruispunt van de wanden ($y = - \bar y_{\rm{N.C.}}$). De verdeelde belasting grijpt aan in het normaalkrachtencentrum wat daarom voor wringing van $y$ naar $z$ zorgt, dus de dubbele vectorpijl naar rechts. ```{figure-start} ./toz_data/optie2.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` Optie 2 ```{figure-end} ``` :::: :::::{exercise} :label: TOZ_5 :nonumber: true Wat is het wringend moment in $\rm{B}$? % Geef je antwoord in $\rm{Nm}$. Ga uit van de standaard tekenafspraken. ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown Het verdeelde wringend moment is $15024 \cdot \bar y_{\rm{N.C.}} = 15024 \cdot 0.075 = 1126.8 \, \rm{Nm/m}$ Dit geeft: ```{figure} ./toz_data/VLS.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/TOZ_schuifspanningen :number: ``` $$ \begin{align*} \left. \sum T \right|_{\rm{BC}} &= 0 \\ -M_{\rm{t,B}} + 1126.8 \cdot 3 - 604.8 &= 0 \\ M_{\rm{t,B}} &= 2775.6 \, \rm{Nm} \end{align*} $$ :::: :::::{exercise} :label: TOZ_42 :nonumber: true Welk model heb je nodig om de schuifspanningen ten gevolge van wringing te berekenen? - $\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot r}}{{{I_p}}} $ - $\tau = \cfrac{{{M_t}}}{{2 \cdot {A_m} \cdot t}}$ - $\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot {e_m}}}{{\tfrac{1}{2} \cdot \sum\limits_i {\tfrac{1}{3} \cdot {h_i} \cdot t_i^3} }} $ ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown Het gaat om een open, dunwandige doorsnede, dus de derde formule is van toepassing: $\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot {e_m}}}{{\tfrac{1}{2} \cdot \sum\limits_i {\tfrac{1}{3} \cdot {h_i} \cdot t_i^3} }} $ :::: :::::{exercise} :label: TOZ_6 :nonumber: true Wat is de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede $\rm{B}$ ten gevolge van wringing? % Geef je antwoord in $\rm{MPa}$. ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown De doorsnede is een open, dunwandige doorsnede. De maximale spanning bevindt zich dus aan de buitenrand van de wanden: $e_m = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \, \rm{mm}$ Dit geeft: $$ \tau = \cfrac{2775.6 \cdot 10^3 \cdot 6}{\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot 300 \cdot 12^3 + \frac{1}{3} \cdot 300 \cdot 12^3 \right)} = 96.375 \, \rm{MPa}$$ :::: :::::{exercise} :label: TOZ_7 :nonumber: true Wat is/zijn de richting(en) van de schuifspanning ten gevolge van alleen wringing op een positieve doorsnede in $\rm{B}$? ::::: ::::{admonition} Uitwerking :class: solution, dropdown Op een negatieve doorsnede werkt een negatief wringend moment, dus van $y$ naar $z$. Op een positieve doorsnede werkt dan ook een negatief wringend moment, van $z$ naar $y$. Deze werkt op alle uiterste randen van de wanden dus zowel omhoog, omlaag, naar links als naar rechts. ::::