````{margin} ```{attributiongrey} Bronvermelding :class: attribution Deze instructie is aangepast van de [pagina over de krachtenmethode voor vakwerkconstructies](https://oit.tudelft.nl/CEG-mechanics-BSc/NL/statically_inderminate/force_method/extension.html) van {cite:ts}`CEG_mechanics_BSc` ``` ```` # Instructie De krachtenmethode hebben we eerder al behandeld voor [simpele constructies](krachtenmethode_simpel). We behandelen de toepassing op complexere vakwerkconstructies met het volgende voorbeeld. Dit voorbeeld bevat een Williot diagram om de verplaatsingen te berekenen. Voor het williot diagram is het nuttig als je een statisch bepaald systeem kiest dat makkelijk is uit te rekenen: elementen verplaatsen bij voorkeur niet als ze ook al roteren. In onderstaande voorbeeld zal die situatie ook langskomen. ::::::{prf:example} :nonumber: true :label: sd_ext_0 ```{figure-start} ./extension_data/Example.svg --- align: center number: figclass: sticky-margin source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot --- ``` - $EI \gg EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}}$ - $EA_{\rm{ADE}} \gg EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}}$ ```{figure-end} ``` :::::: 1. Bepaal de graad van statische bepaaldheid. ::::::{prf:example} :nonumber: true :label: sd_ext_1 Voor ons voorbeeld zijn we geïnteresseerd in de interne krachtenverdeling, dus moeten we de graad van interne statische onbepaaldheid evalueren. Omdat dit een open constructie is, is er geen verschil tussen interne en externe statische onbepaaldheid: ```{figure} ./extension_data/uitwerking4.svg --- align: center number: source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot --- ``` Er zijn 10 onbekende krachten en 9 evenwichtsvergelijkingen, dus is deze constructie 1e orde statisch onbepaald. :::::: 2. Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij pendelstaven of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde krachten en vervormingsvoorwaarden toe voor elke oplegging die je hebt weggenomen, aansluiting van de pendelstaven die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme! Kies een statisch bepaald systeem dat makkelijk is uit te rekenen: elementen roteren bij voorkeur om een vast punt. ::::::{prf:example} :nonumber: true :label: sd_ext_2 Er zijn hier veel opties, waarvan er enkele hieronder worden getoond: `````{tab-set} :sync-group: rek_williot ````{tab-item} Splits de constructie in pendelstaaf :sync: key1 ```{figure} ./extension_data/option1.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` ```` ````{tab-item} Scharnier toevoegen :sync: key2 ```{figure} ./extension_data/option2.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` ```` ````{tab-item} De horizontale bewegingsrichting van een oplegging vrijmaken :sync: key4 ```{figure} ./extension_data/option3.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` ```` ````{tab-item} Verticale oplegging weghalen :sync: key4 ```{figure} ./extension_data/option4.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` ```` ````` Voor elk van deze kan de vervormde constructie geschetst worden waarmee een zo simpel mogelijk verplaatsingspatroon kan worden uitgekozen: `````{tab-set} :sync-group: rek_williot ````{tab-item} Splits de constructie in pendelstaaf :sync: key1 ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen_1.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` Deze vervormingen zijn vrij simpel op te lossen: alle staven hebben een duidelijk draaipunt en verplaatsen niet. ```` ````{tab-item} Scharnier toevoegen :sync: key2 ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen_2.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` Deze vervormingen zijn niet zo simpel. Voor $\rm{DE}$ is het draaipunt niet direct duidelijk; deze staaf roteert én verplaatst. ```` ````{tab-item} De horizontale bewegingsrichting van een oplegging vrijmaken :sync: key4 ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen_3.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` Deze vervormingen zijn niet zo simpel: $\rm{ADE}$ verplaatst en roteert. ```` ````{tab-item} Verticale oplegging weghalen :sync: key4 ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen_4.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` Deze vervormingen zijn wel simpel: alle staven hebben een duidelijk draaipunt en verplaatsen niet. ```` ````` De laatste optie wordt gekozen. :::::: 3. Los de verplaatsing op in termen van de onbekende onbepaalde krachten zoals je normaal zou doen voor een statisch bepaalde constructie. ::::::{prf:example} :nonumber: true :label: sd_ext_4 We hebben de volgende statisch bepaalde constructie gekozen met vervormingsvoorwaarde $w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 0$: ```{hide-sticky-margin} ``` ```{figure-start} ./extension_data/SD-struc.svg --- align: center number: figclass: sticky-margin source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot --- ``` - $EI \gg EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}}$ - $EA_{\rm{ADE}} \gg EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}}$ ```{figure-end} ``` Omdat $\rm{AE}$ oneindig stijf is, zullen alle vervormingen het gevolg zijn van staven die uitrekken/samendrukken. Dit volgde uit de eerdere schets van de vervormde constructie onder invloed van de statisch onbepaalde kracht. Ook de vervormingen ten gevolge van de verdeelde belasting kunnen worden geschetst: ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen_4_2.svg --- align: center source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot number: --- ``` Om de vervormingen te berekenen, kunnen eerst de normaalkrachten worden geëvalueerd als functie van $B_{\rm{v}}$ met behulp van bijvoorbeeld een momentenevenwicht rond $\rm{A}$ voor het element $\rm{ADE}$: - $N_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 210 - 2.5 B_{\rm{v}}$ - $N_{\rm{BE}} \left( B_{\rm{v}} \right) = - B_{\rm{v}}$ Dit leidt tot de volgende uitrekking van de elementen, met behulp van $\Delta L = \cfrac{N \ L}{EA}$: - $\Delta L_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1400}{EA} - \cfrac{50 B_{\rm{v}}}{3 EA}$ - $\Delta L_{\rm{BE}}\left( B_{\rm{v}} \right) = -\cfrac{5 B_{\rm{v}}}{EA}$ Dit leidt tot de volgende verplaatsing, met behulp van een Williot diagram: ```{figure} ./extension_data/williot.svg --- align: center source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot number: --- ``` Dit geeft een verplaatsing van $\rm{D}$ van $\cfrac{5}{4} \Delta L_{\rm{CD}} $ - $w_{\rm{D}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1750}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{6 EA} \left( \downarrow \right) $ - $w_{\rm{E}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) $ - $w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) $ :::::: 4. Gebruik je vormveranderingsvoorwaarden om de statisch onbepaalde krachten op te lossen ::::::{prf:example} :nonumber: true :label: sd_ext_5 $$ \begin{align*} w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) &= 0 \\ \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} &= 0 \\ B_{\rm{v}} &= 75 \ \rm{kN} \end{align*} $$ Dit leidt tot de volgende andere resultaten: - $N_{\rm{CD}} = 22.5 \ \rm{kN}$ - $N_{\rm{BE}} -75 \ \rm{kN} $ - $w_{\rm{D}} = \cfrac{375000}{2 \cdot EA \, \left( \rm{in} \, \rm{N} \right)} \, \rm{mm} \, \left( \downarrow \right) $ - $w_{\rm{E}} = \cfrac{375000}{EA \, \left( \rm{in} \, \rm{N} \right)} \, \rm{mm} \, \left( \downarrow \right) $ En de vervormingen op schaal: ```{figure} ./extension_data/verplaatsingen.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/krachtenmethode_williot :number: ``` :::::: ## Meer voorbeelden In hoofdstuk 2.1 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse {cite:p}`Hartsuijker2016` wordt de krachtenmethode in het algemeen behandeld. Specifiek voor vakwerkconstructies waarbij ook williot nodig is wordt behandeld in hoofdstuk 2.2.10. ## Instructies in collegevorm Dit onderwerp is in [2025 in les 5](https://collegerama.tudelft.nl/Mediasite/Channel/public-ceg-ctb2210/watch/99cfa289d58d4986a4378be10efb40c31d?sortBy=most-recent) gepresenteerd in collegevorm tot 0:42:50. De opname in collegejaar 2026/2027 volgt na het college. ## Oefeningen - Opgaves 2.40 en 2.41, in hoofdstuk 2.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse {cite:p}`Hartsuijker2016`. Antwoorden zijn [hier beschikbaar](https://icozct.tudelft.nl/TUD_CT/boekantwoorden/vol3/Chapter1-2/).