````{margin}
```{attributiongrey} Bronvermelding
:class: attribution

Deze pagina is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CT1000/2025/week_7/session_1/intro.html

```
````

# Begeleide oefening 2: Matrixmethode

Gegeven is de volgende constructie:

```{figure} ./lesoefening1_data/constructie2.svg
:align: center
:source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/verplaatsingenmethode_1

Constructie
```

Gegeven is $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} \varphi_{\rm{A}} & \varphi_{\rm{B}} & \varphi_{\rm{C}} & \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix}^T$.

:::::{exercise}
:nonumber: true

Bepaal de elementstijfheidsmatrix $\mathbf{K}$ voor element $\rm{AD}$ en $\rm{CD}$.

```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292762152044946837/embed
```

:::::

:::::::{admonition} Oplossing
:class: solution, dropdown

De stijheidsmatrix is definiëerd als $\mathbf{K^{\rm{(e)}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 EI}{L} & \cfrac{2EI}{L} \\ \cfrac{2EI}{L} & \cfrac{4EI}{L}  \end{bmatrix}$. Dit geeft:


$$
\mathbf{K^{\rm{AD}}} = \mathbf{K^{\rm{AD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{5} & \cfrac{2 \cdot 120000}{5} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{5} & \cfrac{4 \cdot 120000}{5}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 96000 & 48000 \\ 48000 & 96000  \end{bmatrix}
$$

:::::::

:::::{exercise}
:nonumber: true

Bepaal de elementstijfheidsmatrix $\mathbf{K}$ voor element $\rm{BD}$.

```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292762153223022427/embed
```

:::::

:::::::{admonition} Oplossing
:class: solution, dropdown

$$
\mathbf{K^{\rm{BD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{2} & \cfrac{2 \cdot 120000}{2} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{2} & \cfrac{4 \cdot 120000}{2}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 240000 & 120000 \\ 120000 & 240000  \end{bmatrix}
$$

:::::::

:::::{exercise}
:nonumber: true

Bepaal de globale stijfheidsmatrix $\mathbf{K}$.

```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292762154021337797/embed
```

:::::

:::::::{admonition} Oplossing
:class: solution, dropdown

Alle stijfheidsmatrices kunnen worden samengevoegd in de globale stijfheidsmatrix $\mathbf{K}$.  Hierbij worden de kolommen en rijen gekoppeld aan de juiste vrijheidsgraden. We beginnen met element $\rm{AD}$, dat knopen $\rm{A}$ en $\rm{D}$ koppelt (rij en kolom 1 en 4):

$$
\mathbf{K} = 
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
48000 & 0 & 0 & 96000\\
\end{bmatrix}
$$

Nu voegen we het tweede element $\rm{CD}$ toe, dat knopen $\rm{C}$ en $\rm{D}$ koppelt (rij en kolom 3 en 4):

$$
\mathbf{K} =
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 0 & 48000 & 192000\\
\end{bmatrix}
$$

Tot slot voegen we het derde element $\rm{BD}$ toe, dat knopen $\rm{B}$ en $\rm{D}$ koppelt (rij en kolom 2 en 4):

$$
\mathbf{K} =
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 240000 & 0 & 120000\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
$$

:::::::

:::::{exercise}
:nonumber: true

Bepaal de krachtvector $\mathbf{F}$.

```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292762155602115137/embed
```

:::::

:::::::{admonition} Oplossing
:class: solution, dropdown

Nu kan de krachtvector worden opgesteld. Begin met de externe krachten:

$$
\mathbf{f} =
\begin{bmatrix}
0 \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
$$

Vervolgens worden de opleggingen toegevoegd. De oplegging bij $\rm{A}$ levert een moment op van $M_{\rm{A}}$. Dit geeft de volgende krachtvector:

$$
\mathbf{f} =
\begin{bmatrix}
M_{\rm{A}} \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
$$

:::::::

:::::{exercise}
:nonumber: true

Bepaal de waarde van de vrijheidsgraden $\varphi_{\rm{A}}$, $\varphi_{\rm{B}}$, $\varphi_{\rm{C}}$ en $\varphi_{\rm{D}}$.

```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292762156953327747/embed
```

:::::

:::::::{admonition} Oplossing
:class: solution, dropdown

Het hele systeem kan nu worden opgelost met de volgende vergelijking:

$$
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 240000 & 0 & 120000\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
M_{\rm{A}} \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
$$

Om de onbekende rotaties op te lossen, kan de eerste rij en kolom worden verwijderd:

$$
\begin{bmatrix}
240000 & 0 & 120000\\
0 & 96000 & 48000\\
120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
$$

Dit geeft:

$$
\begin{bmatrix}
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cfrac{7}{19200} \\
\cfrac{1}{16000} \\
\cfrac{-1}{8000}
\end{bmatrix}
\approx
\begin{bmatrix}
3.65 \cdot 10^{-4} \\
6.25 \cdot 10^{-5} \\
-1.25 \cdot 10^{-4}
\end{bmatrix}
$$

:::::::