````{margin} ```{attributiongrey} Bronvermelding :class: attribution Deze pagina is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CT1000/2025/week_8/session_1/intro.html ``` ```` # Begeleide oefening 1: Stijfheidsinvloeden met verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden Gegeven is de volgende constructie: ```{figure} ./oefening1_data/temp_infl.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 Constructie ``` ## Vermenigvuldigingsfactor Voor de toepassing van de vermenigvuldigingsfactor gebruiken we de verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden, andere opties zijn ook mogelijk: ```{figure} ./oefening1_data/phi_C.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 Constructie met vrijheidsgraad $\varphi_C$ aangegeven ``` :::::{exercise} :nonumber: true Gegeven zijn 6 vergeet-me-nietjes: ```{figure} ../wintercursus_1/lesoefening1_data/vergeet-me-nietjes.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/verplaatsingenmethode_vrijheidsgraden Vergeet-me-nietjes ``` ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292763061509985047/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown Vergeet-me-nietje 3 en 4 zijn van toepassing op $\rm{AC}$ en $\rm{BC}$ aangezien $\rm{E}$ op z'n plek blijft (alleen roteert) en dus kan worden gezien als oplegging. :::: :::::{exercise} :nonumber: true Los $M_{\rm{C}}^{\rm{AC}}$ en $M_{\rm{C}}^{\rm{BC}}$ op als functie $\varphi_{\rm{C}}$ en $n$. ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772348519402367/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown Voor $\rm{AC}$ kan een statisch bepaald vergeet-me-nietje worden toegepast ```{figure} oefening1_data/AC.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` $$\varphi_{\rm{C}} = \cfrac{M_{\rm{AC}} \cdot 4}{3 \cdot n \cdot 320000} \to M_{\rm{AC}} = 240000 \cdot n \cdot \varphi_{\rm{C}}$$ Voor $\rm{BC}$ kan een statisch onbepaald vergeet-me-nietje worden toegepast: ```{figure} oefening1_data/BC.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` $$\varphi_{\rm{C}} = \cfrac{M_{\rm{AC}} \cdot 5}{4 \cdot 320000} \to M_{\rm{AC}} = 256000 \varphi_{\rm{C}}$$ :::: :::::{exercise} :nonumber: true Los $\varphi_{\rm{C}}$ op als functie van $n$. ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772355640589157/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown $\varphi_{\rm{C}}$ kan bepaald worden aan de hand van het vrijlichaamsschema van $\rm{DC}$: ```{figure} oefening1_data/Meven.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` $$ \sum \left. T \right|_{\rm{C}}^{\rm{DC}} = 0 \to \varphi_{\rm{C}} = \cfrac{279}{10000 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} $$ :::: :::::{exercise} :nonumber: true Los $w_{\rm{D}}$ op als functie van $n$. ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772359322613707/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown De verplaatsing van $\rm{D}$ kan worden bepaald door de rotatie van $\varphi_{\rm{C}}$ over ligger $\rm{CD}$ te verlengen en de verticale verplaatsing door de belasting erbij op te tellen: ```{figure} oefening1_data/CD.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` $$ \begin{align*} w_{\rm{D}} &= \varphi_{\rm{C}} \cdot 4 + \cfrac{111.6 \cdot 4^3}{3 \cdot 320000} \\ w_{\rm{D}} & = \cfrac{93}{12500} + \cfrac{279}{2500 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} \\ w_{\rm{D}} & = 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \end{align*} $$ :::: :::::{exercise} :nonumber: true Teken $w_{\rm{D}}$ als functie van $n$ voor $n$ variërend van 0 tot $\infty$. ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown ```{figure} oefening1_data/plot.svg :align: center :source: https://github.com/TUDelft-books/CT1000/blob/2025/book/week_8/session_1/intro_data/berekeningen.py ``` :::: ## Extreme gevallen Voor het analyseren van de extreme gevallen analyseren we eerst de constructie zonder de methode voor de statisch onbepaaldheid direct toe te passen. :::::{exercise} :nonumber: true Gegeven zijn 6 varianten van de constructie. ```{figure} ./oefening1_data/extreme_gevallen.svg :align: center :source: https://github.com/TUDelft-books/CT1000/blob/2025/book/week_8/session_1/intro_data/berekeningen.py ``` ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772371515557127/embed ``` ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772381952462747/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown Voor $n \to \infty$, is er geen rotatie toegestaan in $\rm{C}$, wat de constructie reduceert tot een statisch bepaalde structuur: ```{figure} oefening1_data/CD.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` Voor $n \to 0$, is er geen rotatiestijfheid in $\rm{AC}$, wat de constructie reduceert tot: ```{figure} oefening1_data/EI0.svg :align: center :source: https://github.com/Structural-Mechanics-CEG/mechanics-figures-source/tree/main/steunpunt_temp_stijfheid2 ``` :::: :::::{exercise} :nonumber: true Bepaal $w_{\rm{D}}$ voor de extreme gevallen. ```{h5p} https://tudelft.h5p.com/content/1292772385599932867/embed ``` ::::: ::::{admonition} Oplossing :class: solution, dropdown Met een vergeet-me-nietje geeft $n \to \infty$ dit: $$ \begin{align*} w_{\rm{D}} &= \cfrac{111.6 \cdot 4^3}{3 \cdot 320000} \\ w_{\rm{D}} & = \cfrac{279}{2500 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} \\ w_{\rm{D}} & = 0.00744 \end{align*} $$ Dit kan ook worden afgeleid door de limiet te nemen van de eerder gevonden $w_{\rm{D}}$ als functie van $n$: $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}} &= \lim_{n \to \infty} \left( 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \right) \\ \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}}&= 0.00744 + 0 \\ \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}}&= 0.00744 \end{align*} $$ Voor $n \to 0$, dit is een statisch bepaalde structuur welke kan worden opgelost met een methode naar keuze. Dit leidt tot: $$ w_{\rm{D}} = 0.0144 $$ Dit kan ook worden afgeleid door de limiet te nemen van de eerder gevonden $w_{\rm{D}}$ als functie van $n$: $$ \begin{align*} \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}} &= \lim_{n \to 0} \left( 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \right) \\ \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}}&= 0.00744 + \cfrac{0.1116}{16} \\ \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}}&= 0.0144 \end{align*} $$ ::::