# Matplotlib compatibility patch for Pyodide
import matplotlib
if not hasattr(matplotlib.RcParams, "_get"):
    matplotlib.RcParams._get = dict.get

Statisch onbepaaldheid

Een constructie is statisch onbepaald wanneer deze niet meer enkel met evenwichtsvergelijkingen kan worden opgelost. Er kan hierbij onderscheid worden gemaakt tussen:

• Enkel oplegreacties kunnen worden bepaald (uitwendig statisch bepaald)

• Inwendige krachten kunnnen worden bepaald (inwendig statisch bepaald)

Als evenwichtsvergelijkingen niet genoeg zijn is een constructie statisch onbepaald. De mate van statisch onbepaaldheid wordt uitgedrukt in de graad van statisch onbepaaldheid

Het is nodig de graad van statisch onbepaaldheid te bepalen om deze constructies met behulp van de krachtenmethode op te kunnen lossen.

Deze twee categorieën worden samen behandeld in hoofdstuk 4.5.2 en 4.5.3 van het boek Mechanica: Evenwicht (Hartsuijker and Welleman, 2015). Voor vakwerken is de analyse versimpeld zoals beschreven in hoofdstuk 9.2.2 van het boek Mechanica: Evenwicht (Hartsuijker and Welleman, 2015). Alhoewel de getoonde vergelijkingen met \(r\), \(v\) en \(e\) effectief kunnen zijn bij simpele constructies, leiden deze tot verkeerde resultaten voor complexe constructies. Een aanpak die altijd werkt is hieronder getoond voor afzonderlijk uitwendig en inwendig statisch onbepaaldheid.

Bepalen graad van uitwendig statisch onbepaaldheid

Voor de berekening van uitwendig statisch onbepaaldheid gelden de volgende stappen:

Example

Fig. 16 Voorbeeldconstructie

Als voorbeeld bepalen we de uitwendige statisch onbepaaldheid van deze constructie.

1. Splits de constructie in zo vormvaste delen die los van de opleggingen ten opzichte van elkaar kunnen roteren. Teken het vrijlichaamsschema van deze scharnierende delen. Hierop werken in ieder geval de oplegreacties en eventuele uitwendige krachten. In de scharnierende verbinding werken twee onbekende krachten: horizontaal en verticaal. Deze krachten in de verbinding hebben een even grote tegengestelde reactiekracht op het aansluitende deel.

   Example

   

   Fig. 17 Gesplitste constructie

   De constructie is onder te verdelen in twee vormvaste, scharnierend verbonden delen. De opleggingen zijn vervangen door oplegreacties en de scharnierende verbinding door een horizontale en verticale kracht (en reactiekrachten). De uitwendige kracht werkt slechts op een van de twee delen.

2. Tel het aantal onbekende krachten: de oplegreacties en verbindingskrachten in de scharnieren (de reactiekrachten tellen niet apart mee)

   Example

   

   Fig. 18 Aantal onbekende krachten

   Er zijn in totaal 6 oplegreacties en 2 verbindingskrachten. Let op: de verbindingskrachten zijn twee keer getoond, maar deze krachten zijn aan beide uiteinden van de verbinding gelijk, dus ze kunnen als één worden geteld.

3. Tel het evenwichtsvergelijkingen: 3 evenwichtsvergelijkingen per vormvaste deel van de constructie

   Example

   

   Fig. 19 Aantal onbekende evenwichtsvergelijkingen

   Er zijn twee vormvaste delen, dus 6 evenwichtsvergelijkingen

4. De graad van statisch onbepaaldheid is het aantal oplegreacties + verbindingskrachten - aantal evenwichtsvergelijkingen

Example

De graad van uitwendig statisch onbepaalheid voor dit voorbeeld \(6 + 2 - 6 = 2 \).

Bepalen graad van inwendig statisch onbepaaldheid

Voor de berekening van inwendig statisch onbepaaldheid gelden de volgende stappen:

Example

Fig. 20 Voorbeeldconstructie

Als voorbeeld bepalen we de inwendige statisch onbepaaldheid van deze constructie.

1. Splits constructie in alle losse knopen en staven, en teken het vrijlichaamsschema voor alle knopen, rekening houdend met welke staven en opleggingen er aan de knopen verbonden zijn:

   • Op een scharnierende verbinding en vrije- / scharnierende uiteindes werken geen buigende momenten

   • Op een staaf die verbonden is aan een roloplegging werkt enkel een kracht dwars op de rolrichting.

   • Vanuit een pendelstaaf werkt alleen een normaalkracht

   Example

   

   Fig. 21 Vrijlichaamsschema’s knopen

   De constructie bestaat uit 4 knopen. Op knoop A en B werken onbekende oplegreacties. Knoop A is een scharnierend uiteinde dus daar werken geen buigende momenten. In knoop B kunnen er buigende momenten optreden vanuit BC en BD en in evenwicht zijn, alhoewel de oplegging een scharnier is. Op knoop C werkt vanuit staaf DB geen buigend moment vanwege de scharnierende verbinding. Knoop D is scharnierend, dus hier werken geen buigende momenten op.

2. Teken het vrijlichaamsschema voor de staven: teken de reactiekrachten op de staven ten gevolge van de krachten op de knopen.

   Example

   

   Fig. 22 Vrijlichaamsschema’s staven

   Vanuit Fig. 21 kunnen de reactiekrachten op de staven getekend worden.

3. Tel het aantal onbekende krachten: oplegreacties en staafkrachten (de reactiekrachten tellen niet apart mee)

   Example

   

   Fig. 23 Aantal onbekende krachten

   Vanuit Fig. 21 kunnen het aantal onbekende krachten geteld worden. Er zijn 4 oplegreacties en 20 staafkrachten.

   Deze straafkrachten kunnen ook geteld worden in de vrijlichaamsschema’s van de staven uit Fig. 22:

   

   Fig. 24 Aantal onbekende staafkrachten

4. Tel het evenwichtsvergelijkingen: 1 evenwichtsvergelijking per pendelstaaf, 3 evenwichtsvergelijkingen per algemene staaf, 1 evenwichtsvergelijking voor een rolscharnier, 2 evenwichtsvergelijkingen per scharnierende knoop en 3 evenwichtsvergelijkingen per algemene knoop.

   Example

   

   Fig. 25 Aantal evenwichtsvergelijkingen per staaf

   Alle staven zijn algemene staven. Dat geeft 12 evenwichtsvergelijkingen voor de staven.

   

   Fig. 26 Aantal evenwichtsvergelijkingen per knoop

   Van de knopen zijn er twee volledig scharnierend, bij de rest is ook de momentensom van belang. Dat geeft 10 evenwichtsvergelijkingen.

   In totaal zijn er dus 22 evenwichtsvergelijkingen

5. De graad van statisch onbepaaldheid is het aantal oplegreacties + staafkrachten - aantal evenwichtsvergelijkingen

   Example

   De graad van inwendig statisch onbepaalheid voor dit voorbeeld \( 4 + 20 - 22 = 2 \).

Opgaves

• Opgaves 4.11 - 4.22, van hoofdstuk 4 van het boek Mechanica: Evenwicht (Hartsuijker and Welleman, 2015). Negeer de vragen over kinematisch bepaaldheid. Antwoorden zijn beschikbaar op deze website.

• Opgave 9.6, van hoofdstuk 9 van het boek Mechanica: Evenwicht (Hartsuijker and Welleman, 2015). Negeer de vragen over kinematisch bepaaldheid. Antwoorden zijn beschikbaar op deze website.