# Matplotlib compatibility patch for Pyodide
import matplotlib
if not hasattr(matplotlib.RcParams, "_get"):
    matplotlib.RcParams._get = dict.get

… voor vakwerkconstructies

Het algemene concept van de krachtenmethode wordt getoond in Apply force method en behandeld in hoofdstuk 2.1. Specifiek de krachtenmethode voor vakwerkconstructies wordt behandeld in hoofdstuk 2.2.8 - 2.2.10 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007).

We behandelen de toepassing op vakwerkconstructies met het volgende voorbeeld. Dit voorbeeld bevat een Williot diagram om de verplaatsingen te berekenen.

Example

Fig. 27 Voorbeeldconstructie. Hoewel dit geen vakwerkconstructie is, worden vervorming enkel veroorzaakt door extensie, niet door buiging.

1. Bepaal de graad van statische bepaaldheid.

   Example

   Voor ons voorbeeld zijn we geïnteresseerd in de interne krachtenverdeling, dus moeten we de graad van interne statische onbepaaldheid evalueren.

   

   Fig. 28 Er zijn 17 onbekende krachten.

   

   Fig. 29 Er zijn 16 evenwichtsvergelijkingen

   Deze constructie is dus 1e orde intern statisch onbepaald.

2. Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij een pendelstaaf, of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde krachten en vervormingsvoorwaardes toe voor elke opleggging die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!

   Example

   Er zijn hier veel opties, waarvan er enkele hieronder worden getoond:

   Splits de constructie bij een scharnier

   

   Scharnier toevoegen

   

   De horizontale bewegingsrichting van een oplegging vrijmaken

   

   Verticale oplegging weghalen

   

   De laatste optie wordt gekozen.

3. Los de verplaatsing op in termen van de onbekende onbepaalde krachten zoals je normaal zou doen voor een statisch bepaalde constructie.

   Example

   We hebben de volgende statisch bepaalde constructie gekozen met vervormingsvoorwaarde \(w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 0\):

   

   Fig. 30 De statisch bepaalde constructie met vervormingsvoorwaarde

   Omdat \(\rm{AE}\) oneindig stijf is, zullen alle vervormingen het gevolg zijn van staven die uitrekken/samendrukken. Om dit te berekenen, kunnen eerst de normaalkrachten worden geëvalueerd als functie van \(B_{\rm{v}}\) met behulp van bijvoorbeeld een momentenevenwicht rond \(\rm{A}\) voor het element \(\text{ADE}\):

   • \(N_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 210 - 2.5 B_{\rm{v}}\)

   • \(N_{\rm{BE}} \left( B_{\rm{v}} \right) = - B_{\rm{v}}\)

   Dit leidt tot de volgende uitrekking van de elementen, met behulp van \(\Delta L = \cfrac{N \ L}{EA}\):

   • \(\Delta L_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1400}{EA} - \cfrac{50 B_{\rm{v}}}{3 EA}\)

   • \(\Delta L_{\rm{BE}}\left( B_{\rm{v}} \right) = -\cfrac{5 B_{\rm{v}}}{EA}\)

   Dit leidt tot de volgende verplaatsing, met behulp van een Williot diagram:

   

   Fig. 31 De verplaatsing van \(\rm{D}\) is \(\cfrac{5}{4} \Delta L_{\rm{CD}} \)

   • \(w_{\rm{D}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1750}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{6 EA} \left( \downarrow \right) \)

   • \(w_{\rm{E}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) \)

   • \(w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) \)

4. Gebruik je vormveranderingsvoorwaarden om de statisch onbepaalde krachten op te lossen

   Example

   \[\begin{split} \begin{align*} w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) &= 0 \\ \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} &= 0 \\ B_{\rm{v}} &= 75 \ \rm{kN} \end{align*} \end{split}\]

   Dit leidt tot de volgende andere resultaten:

   • \(N_{\rm{CD}} = 22.5 \ \rm{kN}\)

   • \(N_{\rm{BE}} -75 \ \rm{kN} \)

   • \(w_{\rm{D}} = \cfrac{375}{2EA} \left( \downarrow \right) \)

   • \(w_{\rm{E}} = \cfrac{375}{EA} \left( \downarrow \right) \)

Oefeningen

• Opgaves 2.31 - 2.41, in hoofdstuk 2.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Antwoorden zijn hier beschikbaar.