Instructie

De vorige keer hebben we gekeken naar schuifspanningen in dikwandige doorsnedes. In deze instructie breiden we dat uit naar schuifspanningen in dunwandige doorsnedes.

Implicaties model schuifspanningen voor dunwandige doorsneden

Voor dunwandige doorsneden geldt dat de wanddikte klein is ten opzichte van de andere afmetingen van de doorsnede. Dit heeft tot gevolg dat overal wordt voldaan aan de voorwaarde \(h \gg b\) en \(R \gg b\) en lopen de schuifspanningen altijd evenwijdig aan de wand. Daarmee kunnen we ook in een knooppunt waar meerdere constructiedelen bij elkaar komen de schuifspanningen berekenen, in tegenstelling tot dikwandige doorsnedes. Dus kan de schuifspanning in de gehele doorsnede worden bepaald.

Fig. 45 Schuifspanningen kunnen voor dunwandige doorsneden in de gehele doorsnede worden bepaald.

Omdat we nu de schuifspanning in de volledige continue doorsnede kunnen bepalen met ons schuifspanningsmodel kunnen we de schuifspanning zien als een ‘stroom’ van de dwarskracht door de doorsnede. Aangezien de dwarskracht de resultante is van de schuifspanningen kan de richting van de schuifspanning in elk van de doorsnededelen worden afgeleid.

Fig. 46 De richting van de schuifspanning volgt uit de stroom van de dwarskracht die voor de resultante dwarskracht zorgt. Plaatjes uitgaande van dwarskracht naar beneden op doorsnede.

Voorbeeld

Het bepalen van de schuifspanningen voor een dunwandige doorsnede wordt getoond op onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

Gegeven is de volgende constructie en doorsnede:

Fig. 47 Doorsnede en constructie

Gevraagd is het schuifspanningsverloop op een negatieve snede.

Zonder een berekening te maken kunnen we al wat zeggen over de schuifspanningen in de verschillende delen van de doorsnede:

• Vanwege symmetrie moet de schuifspanning middenin de flens gelijk zijn aan \(0\).

• Dat geldt ook voor de vrije uiteindes van zowel de flens als het lijf.

• De horizontale flens zal een horizontaal verloop van de schuifspanning hebben

• Het verticale lijf zal een verticaal verloop van de schuifspanning hebben.

• Het maximum van de schuifspanning zit ter hoogte van het normaalkrachtencentrum omdat daar het statisch moment van het afschuivend gedeelte het grootst is.

• De dwarskracht met vervormingsteken ⎽|⎺ zorgt voor een dwarskracht omhoog op een negatieve snede.

• Vanwege de stroming van de schuifstroom zal de schuifspanning vanuit in het lijf vanuit de flenzen naar buiten en binnen stromen en afnemen.

Fig. 48 Verloop van schuifspanningen volgens het schuifspanningsmodel zonder berekeningen te maken.

Om de daadwerkelijke waardes te berekenen beginnen we met het bepalen van de doorsnedegrootheden, startend met het oppervlakte \(A\).

\[ A = 200 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 150 = 2000 \, \rm{mm^2} \]

Vervolgens kunnen we het zwaartepunt/normaalkrachtencentrum bepalen.

\[ \bar{z}_{\rm{N.C.}} = \cfrac{2 \cdot 150 \cdot 4 \cdot \cfrac{150}{2}}{2000} = 45 \, \rm{mm} \]

Daarmee kan het traagheidsmoment \(I_{zz}\) worden bepaald.

\[\begin{split} \begin{align*} I_{zz} = & \,\cfrac{1}{12} \cdot 200 \cdot 4^3 + 200 \cdot 4\ \cdot \left(-45\right)^2 \\ & + 2 \cdot \left( \cfrac{1}{12} \cdot 4 \cdot 150^3 + 4 \cdot 150 \cdot \left( \cfrac{150}{2} -45 \right)^2 \right)\\ \approx & \, 4.95 \cdot 10^6 \, \rm{mm^4} \end{align*} \end{split}\]

Uit het eerder bepaalde verloop blijkt dat een aantal punten interessant zijn om de schuifspanning te bepalen:

• Ter hoogte van het normaalkrachtencentrum

• Rondom de aansluiting van het lijf met de flens

Beginnend met de schuifspanning ter hoogte van het normaalkrachtencentrum, waarbij één van de twee lijven wordt doorgesneden:

Fig. 49 Afschuifvlak ter hoogte van het normaalkrachtencentrum.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot \left(150 - 45 \right) \cdot \cfrac{\left(150 - 45 \right)}{2} = 22050 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 22050\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 11 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Vervolgens net onder de aansluiting van het lijf met de flens, waarbij wederom één van de twee lijven wordt doorgesneden:

Fig. 50 Afschuifvlak net onder de aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot 150 \cdot \left(\cfrac{150}{2}-45\right) = 18000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 18000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 9.0 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Vervolgens nemen we een afschuifvlak net links van de linker aansluiting van het lijf met de flens, waarbij nu de flens wordt doorgesneden:

Fig. 51 Afschuifvlak net links van de linker aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot 50 \cdot \left(-45\right) = -9000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot -9000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 4.5 \, \rm{MPa} \end{split}\]

En tot slot het afschuifvlak net rechts van de linker aansluiting van het lijf met de flens, wederom met de flens doorgesneden:

Fig. 52 Afschuifvlak net rechts van de linker aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 18000-9000 = 9000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 9000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 4.5 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Dit geeft dus het volgende schuifspanningsverloop:

Fig. 53 Schuifspanningsverloop

Meer voorbeelden

In hoofdstuk 5.4.2 en 5.4.3 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016) worden meer voorbeelden gegeven van het bepalen van schuifspanningen in verschillende situaties.

Oefeningen

Opgaves 5.33 - 5.46 in hoofdstuk 5 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016). Antwoorden zijn hier beschikbaar.