Instructie inleiding wringende momenten, wringende momentenlijn, evenwichtsvergelijking en differentiaalvergelijking#
Tot nu toe hebben we enkel gerekend aan uitwendige krachten, en momenten en inwendige dwarskrachten, normaalkrachten en buigende momenten. Echter, op en in sommige constructies komen ook wringende momenten voor. Waar buigende momenten om de lokale \(y\)- of \(z\)-as werken en zorgen voor verplaatsingen in de \(z\) (\(M_z\)) en \(y\) (\(M_y\)) richting, werken wringende momenten om de \(x\)-as van de doorsnede en zorgen voor rotaties om de \(x\)-as (\(M_{\rm{t}}\), met de \(\rm{t}\) van ‘torsion’).
Uitwendige momenten#
De verschillende uitwendige momenten kunnen we zowel in 3D als 2D bekijken. De afspraak is dat een positief moment loopt van \(x\) naar \(y\), van \(y\) naar \(z\) en van \(z\) naar \(x\).
Fig. 57 Uitwendige momenten in 3D en 2D met gekromde pijlen in de positieve richtingen#
Omdat het zeker in 3D lastig is om de verschillende momenten te onderscheiden, worden deze vaak of in 2D getekend, of met pijlen met een dubbele pijlpunt aangegeven. De pijl geeft de as aan waarom het moment draait, waarbij de richting van de pijl met de rechterhandregel de richting van de draaiing aangeeft.
Fig. 58 Uitwendige momenten in 3D met pijlen met dubbele pijlpunt in de positieve richtingen#
Verdeelde wringende momenten zijn ook mogelijk.
Inwendige momenten#
Inwendige momenten kunnen we op dezelfde manier onderscheiden als uitwendige momenten met gekromde pijlen of pijlen met dubbele pijlpunt. Echter, voor de positieve richtingen gelden andere afspraken:
De buigende momenten \(M_y\) en \(M_z\) zijn positief als ze zorgen voor trek aan de positieve kant van de \(y\)- of \(z\)-as.
Het wringende moment \(M_{\rm{t}}\) is positief als het op een positieve \(x\)-vlak van \(y\) naar \(z\) draait. Op een negative \(x\)-vlak draait het torderend moment dan van \(z\) naar \(y\).
Fig. 59 Inwendige wringende momenten in de positieve richtingen met gekromde pijlen of pijlen met dubbele pijlpunt#
Wringende momentenlijn#
Net als bij de andere snedekrachtenlijnen (momentenlijn, dwarskrachtenlijn, normaalkrachtenlijn) kunnen we ook een wringende momentenlijn tekenen. Daarvoor introduceren we een vervormingsteken, geïnspireerd op het vrijlichaamsschema met de pijlen met dubbele pijlpunt. Deze kunnen we in een wringende momentenlijn gebruiken om de richting van de wringende momenten aan te geven. Het maakt niet uit of dit teken boven of onder de as wordt gezet.
Fig. 60 Vervormingstekens voor wringende momenten#
Net als bij de buigende momentenlijn kunnen we een aantal eigenschappen van de wringende momentenlijn vinden:
De wringende momentenlijn is constant als er geen verdeelde wringende momenten op de constructie werken. Dit verband volgt uit de differentiaalvergelijking zoals hieronder wordt afgeleid.
De wringende momentenlijn springt bij een uitwendig wringend moment. Dit volgt uit het evenwicht rondom een uitwendige wringend moment.
Evenwichtsvergelijkingen voor wringende momenten#
Net zoals bij krachten en momenten voor buiging, kunnen we ook voor wringende momenten met evenwichtsvergelijkingen oplegreacties en inwendige wringende momenten bepalen. Daarvoor is de aanpak vergelijkbaar met die van buigende momenten: op basis van het het vrijlichaamsschema van de constructie of maak een een deel van de constructie wordt een evenwichtsvergelijking opgesteld. Deze evenwichtsvergelijkingen wordt opgesteld rondom een as: \(\sum T_{\rm{as}} = 0\). Alle krachten, buigende en wringende momenten die een draaiing rondom deze as veroorzaken komen in deze evenwichtsvergelijking terecht.
Differentiaalvergelijking voor wringing#
Net als bij de differentiaalvergelijkingen voor buiging kan de differentiaalvergelijking voor wringing worden afgeleid door te kijken naar een klein element van lengte \(\Delta x\).
Fig. 61 Vrijlichaamsschema van een klein element met wringende momenten#
Evenwicht rondom de as van het element geeft: