Instructie

Tot nu toe hebben we enkel gerekend aan normaalspanningen, en enkel door buiging en verlenging/verkorting. Tijdens buiging treden er echter ook schuifspanningen op in de doorsnede: schuifspanningen die langs een een snede werken in plaats van loodrecht daarop. Dit is voor te stellen door twee op elkaar liggende balken te beschouwen die doorbuigen. Als je deze twee balken aan elkaar zou willen lijmen zodat deze werken als één balk zouden schuifspanningen nodig zijn die de vervormingen door buiging enigszins tegengaan:

Fig. 1 Twee op elkaar liggende balken. Voor het samenvoegen zouden schuifspanningen nodig zijn zoals rechts getoond.

Model

Evenwicht afschuivend deel

Voor het bepalen van schuifspanningen kijken we naar het evenwicht van een infinitesimaal (oneindig kleine afmetingen) stukje van een balk

Fig. 2 Infinitesimaal stukje balk van lengte \(\Delta x\) met daarop snedekrachten \(V_z\) en \(M_z\). Het moment op de rechter doorsnede is \(\Delta M\) groter dan dat op de linker doorsnede.

We kunnen de spanningen bepalen op de doorsnedes. De schuifspanningen zijn nog onbekend, maar voor de normaalspanningen geldt de eerder afgeleide formule \(\sigma = \cfrac{M_z z}{I_{zz}}\).

Fig. 3 Boven de nog onbekende schuifspanningen. Onder de normaalspanningen.

Aanname

We negeren de afschuifvervorming, enkel de vervormingen door extensie / buiging nemen we mee in de daaruit volgende normaalspanningen. De schuifspanningen en afschuifvervorming zijn dus niet één-op-één gerelateerd in ons model, waar dat bij normaalspanningen wel het geval is.

Fig. 4 Een infinitesimaal (oneindig kleine afmetingen) blokje dat wordt belast door schuifspanningen en normaalspanningen kan vervormen door zowel afschuiving als extensie, maar in ons model nemen we enkel de extensie mee om de schuifspanningen te bepalen.

De aannames die we hebben gebruikt voor normaalspanningen zijn dus nog steeds geldig:

• De doorsnedes blijven vlak en loodrecht op ‘vezels’ staan, waarmee het rekverloop lineair is

• Normaalspanningen en -rekken hebben een lineair verband, waarmee de vorm van het spanningsverloop gelijk is aan die van het rekverloop.

Tijdens de afleiding van de formules voor normaalspanningen werden daarnaast nog een aantal aannames gedaan. Aangezien we door gaan bouwen op hetzelfde model, zullen deze aannames ook gelden voor schuifspanningen:

• Het assenstelsel grijpt aan in het normaalkrachtencentrum van de doorsnede. Hierdoor vervallen de statisch momenten \(S_y\) en \(S_z\) in de vergelijkingen.

• De doorsnede is symmetrisch in de \(y\)- en/of \(z\)-richting / krachten grijpen aan in de hoofdassen van de doorsnede. Hierdoor vervallen de termen met \(I_{yz}\) en zijn spanniningen in de \(y\)- en \(z\)-richting onafhankelijk van elkaar.

• De doorsnede heeft een homogene verdeling van rekstijfheid \(E\), waarmee de locatie van het normaalkrachtencentrum en traagheidsmomenten onafhankelijk van de rekstijfheid bepaald kunnen worden en de rekverdeling gelijk is van vorm aan de spanningsverdeling.

Nu stellen we een vrijlichaamsschema op met spanningen voor een deel van de doorsnede, het zogenaamde afschuivend deel. Dit afschuivend deel heeft breedte \(b \left(z\right)\) en lengte \(\Delta x\). \(A^{\rm{a}}\) is het oppervlakte van de linker en rechter doorsnede, \(A^{\parallel}\) is het oppervlakte van de onderste doorsnede. Hieruit volgt dus hoogte van dit vrijlichaamsschema van \(\cfrac{A^{\rm{a}}}{b}\)

Fig. 5 Afschuivend deel met oppervlakte \(A^{\rm{a}}\) voor de linker en rechter doorsnede en oppervlakte \(A^{\parallel}\) voor de onderste doorsnede.

Op dit afschuivend deel werken dezelfde spanningen als op de hele doorsnede, met daarnaast op het doorgesneden vlak geen normaalspanning maar wel een mogelijk schuifspanning.

Fig. 6 Spanningen op een afschuivend deel van de doorsnede.

Door het evenwicht in de langsrichting op te stellen, kunnen we de schuifspanning bepalen:

\[ \sum F_x = 0 \to \tau_{\rm{gem}} = -\cfrac{V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}} }{b \, I_{zz}} \]

Met:

• \(\tau_{\rm{gem}} \): de gemiddelde schuifspanning op het afschuivend oppervlakte van het afschuivende gedeelte en op de afschuiflijn in de doorsnede

• \(V_{z}\): de snedekracht in de \(z\)-richting

• \(S_{z}^{\rm{a}}\): het statisch moment van het afschuivende deel van de doorsnede ten opzichte van de \(y\)-as

• \(b\): de totale breedte van de afschuivende vlak.

• \(I_{zz}\): het traagheidsmoment van de volledige doorsnede in de \(z\)-richting

Aanname

Om het evenwicht op te stellen kunnen we alleen de resulterende schuifkracht bepalen, de verdeling is daarmee onbekend. We kunnen daarmee alleen maar de gemiddelde schuifspanning bepalen. Voor afschuivende vlakken blijkt deze gemiddelde schuifspanning terecht als de breedte van het afschuivend vlak veel kleiner is dan de hoogte van het afschuivend vlak. Deze spanning werkt dan loodrecht op het afschuivend vlak en evenwijdig aan de rand van de doorsnede.

Fig. 7 Voor doorsnedes waarin de breedte veel kleiner is dan de hoogte zoals links getoond, is de aanname van een gemiddelde schuifspanning over afschuifvlakken geldig. Als dat niet zo is, zoals rechts getoond, is de aanname niet geldig: voor dezelfde \(z\) varieert de schuifspanning over het afschuifvlak.

Daarnaast gaan we in deze berekeningen uit van dezelfde doorsnede (en dus ook dezelfde doorsnedegrootheden \(I_{zz}\) en \(A^{\rm{a}}\)) in de linker en rechter doorsnede, wat betekent dat we aannemen dat de doorsnede niet verandert over de lengte van de balk; dus een prismatische balk.

Fig. 8 Een niet-prismatisch balk geeft een ander spanningsverloop, \(I_{zz}\) en \(A^{\rm{a}}\) in de linker en rechter doorsnede.

Volledige afleiding

\[\begin{split} \begin{align*} \sum F_x &= 0 \\ -\int_{A^{\rm{a}}_{\rm{links}}} \sigma_{\rm{links}} \, dA^{\rm{a}}_{\rm{links}} + \int_{A^{\rm{a}}_{\rm{rechts}}} \sigma_{\rm{rechts}} \, dA^{\rm{a}}_{\rm{rechts}} + \int_{A^{\parallel}} \tau \left( x\right) \, dA^{\parallel} &= 0 \\ \underbrace{-\int_{A^{\rm{a}}_{\rm{links}}} \cfrac{M_z \, z}{I_{zz,\rm{links}}} \, dA^{\rm{a}}_{\rm{links}} + \int_{A^{\rm{a}}_{\rm{rechts}}} \cfrac{M_z \, z}{I_{zz,\rm{rechts}}} \, dA^{\rm{a}}_{\rm{rechts}}}_{\rm{Als} \, \rm{linker-} \, \rm{en} \, \rm{rechter} \, \rm{afschuivend} \, \rm{vlak} \, \rm{gelijk} \, \rm{zijn} \, \rm{vervallen} \, \rm{deze} \, \rm{termen}} + \underbrace{\int_{A^{\rm{a}}} \cfrac{\Delta M_z \,z}{I_{zz}} \, dA^{\rm{a}}}_{\rm{uitgaande} \, \rm{van} \, \rm{gelijk} \, \rm{linker-} \, \rm{en} \, \rm{rechter} \, \rm{afschuivend} \, \rm{vlak}} + \int_{A^{\parallel}} \tau \left( x\right) \, dA^{\parallel} &= 0 \\ \int_{A^{\rm{a}}} \cfrac{\Delta M_z \,z}{I_{zz}} \, dA^{\rm{a}} + \int_{A^{\parallel}} \underbrace{\tau \left( x\right)}_{\rm{Als} \, \tau \left( x\right) = \tau_{\rm{gem}} \, \text{kan} \, \rm{deze} \, \rm{uit} \, \rm{de} \, \rm{integraal} \, \rm{worden} \, \rm{gehaald} } \, dA^{\parallel} &= 0 \\ \cfrac{\Delta M_z}{I_{zz}} \int_{A^{\rm{a}}} z \, dA^{\rm{a}} + \tau_{\rm{gem}} \int_{A^{\parallel}} \, dA^{\parallel} &= 0 \\ \cfrac{\Delta M_z}{I_{zz}} S_{z}^{\rm{a}} + \tau_{\rm{gem}} A^{\parallel} &= 0 \\ \cfrac{\Delta M_z}{I_{zz}} S_{z}^{\rm{a}} + \tau_{\rm{gem}} \, b \, \Delta x &= 0 \\ \lim_{\Delta x \to 0} \tau_{\rm{gem}} &= \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{- \cfrac{\Delta M_z}{\Delta x} \, S_{z}^{\rm{a}}}{b \, I_{zz}} \\ \tau_{\rm{gem}} &= -\cfrac{V_z \, S_{z}^{\rm{a}}}{b \, I_{zz}} \end{align*} \end{split}\]

Evenwicht infinitesimaal blokje

We kunnen ook de schuifspanning op de linker en rechter doorsnede vinden. Dit kunnen we doen door het momentenevenwicht van de schuifspanningen te bekijken op een infinitesimaal (oneindig kleine afmetingen) blokje. De schuifspanningen zijn beschreven met index-notatie, waarbij de eerste index de normaalrichting van het vlakje aangeeft waar de spanning op werkt en de tweede index de richting van de werklijn van de spanning.

Fig. 9 Infinitesimaal blokje met schuifspanningen.

\[\begin{split} \begin{align*} \left. \sum T \right|_{\rm{A}} &= 0 \\ \underbrace{\sigma_{zx} \, \Delta x}_{\rm{Resultante} \, \rm{kracht} \, \rm{op} \, \rm{vlakje} \, z} \, \underbrace{\Delta z}_{\rm{Arm} \, \rm{ten} \, \rm{opzichte} \, \rm{van} \, \rm{A}} - \underbrace{\sigma_{xz} \, \Delta x}_{\rm{Resultante} \, \rm{kracht} \, \rm{op} \, \rm{vlakje} \, x} \, \underbrace{\Delta z}_{\rm{Arm} \, \rm{ten} \, \rm{opzichte} \, \rm{van} \, \rm{A}} &= 0 \\ \sigma_{zx} &= \sigma_{xz} \\ \end{align*} \end{split}\]

Dus de schuifspanningen op een zijde \(90^\circ\) ten opzichte van elkaar zijn gelijk van grootte en wijzen naar elkaar toe of van elkaar af. Deze worden daarom ook wel genoteerd met een algemene \(\tau\) in plaats van \(\sigma\) met subscripten.

Dat betekent dus dat de schuifspanningen op de linker en rechter doorsnede ter hoogte van de snede in de richting van \(x\) gelijk zijn aan de schuifspanning in de \(x\)-richting:

Fig. 10 Spanningen op afschuivend deel van de doorsnede.

Implicaties model schuifspanningen

De schuifspanningsformule beschrijft dus de schuifspanningen zowel in langsrichting \(x\) als in het doorsnedevlak \(yz\) volgens \(\tau_{\rm{gem}} = -\cfrac{V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}} }{b \, I_{zz}}\)

Vanwege de aanname dat de schuifspanning gemiddeld verdeeld is over de langsrichting van het afschuivende deel van de doorsnede, geldt dat de formule alleen een geldig antwoord geeft als een afschuivend deel wordt genomen waarin de schuifspanning daadwerkelijk constant is. We moeten het snedevlak daarom symmetrisch en loodrecht op de randen van de doorsnede nemen:

Fig. 11 Het afschuivend deel van de doorsnede moet symmetrisch en loodrecht op de randen van de doorsnede genomen worden om een constante schuifspanning te garanderen.

Daarnaast is voor de vorm van het schuifspanningsverloop in de doorsnede af te leiden dat bij een doorsnede met constante breedte de schuifspanning maximaal is ter hoogte van het normaalkrachtencentrum. Daarnaast verloop deze, specifiek voor rechthoekige doorsnedes, parabolisch.

Fig. 12 Parabolisch verloop van schuifspanningen met maximum ter hoogte van het normaalkrachtencentrum.

Volledige afleiding

Om het schuifspanningsverloop te bepalen, kunnen we de formule voor de gemiddelde schuifspanning herschrijven door het statisch moment uit te werken voor een constante breedte:

\[\begin{split} \begin{align*} \tau_{\rm{gem}} &= -\cfrac{V_z \, S_{z}^{\rm{a}}}{b \, I_{zz}} \\ \tau_{\rm{gem}} &= -\cfrac{V_z \, \int_{A^{\rm{a}}} z \, dA^{\rm{a}} }{b \, I_{zz}} \\ \tau_{\rm{gem}} &= -\cfrac{V_z \, b \int z \, dz }{b \, I_{zz}} \\ \tau_{\rm{gem}} &= -\cfrac{V_z \, \left(z^2 + \underbrace{C}_{\rm{integration} \, \rm{constant}} \right)}{\, I_{zz}} \end{align*} \end{split}\]

Het statisch moment is maximaal ter hoogte van het normaalkrachtencentrum, waar \(z=0\). Dus daar is ook de schuifspanning maximaal.

Daarnaast leidt de relatie \(\sigma_{zx} = \sigma_{xz}\) ook tot de conclusie dat de schuifspanningen dwars op de vrije randen van een doorsnede nul moeten zijn, omdat er daar geen evenwicht kan zijn met een andere spanning.

Fig. 13 Spanningen op randen zijn nul loodrecht op de rand.

Tot slot kunnen we de formule simplificeren door het teken direct te relateren aan de richting van de snedekracht. De resultante van de schuifspanning werkt namelijk altijd in de richting van de snedekracht. We kunnen daarmee de formule herschrijven naar: \(\tau_{\rm{gem}} = \cfrac{\left| V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}} \right|}{b \, I_{zz}} \).

Fig. 14 Resultante van schuifspanningen komt overeen met richting van snedekracht. Normaalspanningen zijn niet getoond.

Daarmee kunnen we de volgende aanpak beschrijven voor het bepalen van het schuifspanningsverloop in een doorsnede:

Algoritme (Bepalen schuifspanningsverloop in een doorsnede)

1. Bereken de snedekracht \(V_z\) in de doorsnede.

2. Neem een aantal karakteristieke afschuivend delen waarin de schuifspanningen constant zijn en bepaal de schuifspanningen op deze delen. Het afschuivende deel door het normaalkrachtencentrum geeft de maximale schuifspanning. Leid het teken af van de schuifspanningen af aan de hand van de richting van de snedekracht. De schuifspanningen kunnen berekend worden met \(\tau_{\rm{gem}} = \cfrac{ \left| V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}} \right|}{b \, I_{zz}}\). Hierin is:

   • \(\tau_{\rm{gem}} \): de gemiddelde schuifspanning op het afschuivend oppervlakte van het afschuivende gedeelte en op de afschuiflijn in de doorsnede.

   • \(V_{z}\): de snedekracht in de \(z\)-richting.

   • \(S_{z}^{\rm{a}}\): het statisch moment van het afschuivende deel van de doorsnede ten opzichte van de \(y\)-as.

   • \(b\): de totale breedte van de afschuivende vlak.

   • \(I_{zz}\): het traagheidsmoment van de volledige doorsnede in de \(z\)-richting.

3. Teken het schuifspanningsprofiel op de doorsnede. Voor een rechthoekige doorsnede verloopt dit parabolisch.

Voorbeeld

Het bepalen van schuifspanningen voor een rechthoekige doorsnede wordt gedemonstreerd op onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

Fig. 15 Voorbeeldconstructie

Gevraagd is het schuifspanningsverloop op een positieve snede in \(\rm{D}\).

Allereerst bepalen we de dwarskracht in doorsnede \(\rm{D}\). Daarvoor bepalen we eerst de oplegreacties:

Fig. 16 Vrijlichaamsschema van de gehele constructie.

\[ \left. \sum T \right| _{\rm{B}} = 0 \to A_{\rm{v}} = 3 \, \rm{kN} \left(↑\right) \]

Daarmee kunnen we de dwarskracht in \(\rm{D}\) bepalen op een positieve snede:

Fig. 17 Vrijlichaamsschema van linker deel van constructie doorgesneden in \(\rm{D}\).

\[ \sum F_{\rm{v}} = 0 \to V_{\rm{D}} = 30 \, \rm{kN} \left(⎽|⎺\right) \]

Nu kunnen we de schuifspanningen bepalen op karakteristieke afschuivende delen in de doorsnede. Op de boven en onderzijde is de schuifspanning \(0\) en aangezien we een rechthoekige doorsnede hebben weten we dat het schuifspanningsverloop parabolisch is met een maximum ter hoogte van het normaalkrachtencentrum. Daarom wordt op dat punt de maximale schuifspanning bepaald waarmee het hele schuifspanningsverloop gedefinieerd is. Het normaalkrachtencentrum bevindt zich in het zwaartepunt van de doorsnede, wat voor een rechthoek precies in het midden is.

Fig. 18 Afschuivend deel door het normaalkrachtencentrum.

Het statisch moment van dit afschuivende deel is:

\[\begin{split} \begin{align*} S_{z}^{\rm{a}} &= A_{\rm{afschuivend} \, \rm{deel}} \, z_{\rm{N.C.} \longleftrightarrow \rm{zwaartepunt} \, \rm{afschuivend} \, \rm{deel} } \\ &= \left( 90 \cdot 62.25 \cdot 2\right) \cdot -\cfrac{90}{2}\\ &= -506250 \, \rm{mm^3} \end{align*} \end{split}\]

Het traagheidsmoment van de volledige doorsnede is:

\[\begin{split} \begin{align*} I_{zz} &= \cfrac{b \, h^3}{12} \\ &= \cfrac{125 \cdot 180^3}{12} \\ &= 60750000 \, \rm{mm^4} \end{align*} \end{split}\]

Daarmee kunnen we de maximale schuifspanning bepalen:

\[\begin{split} \begin{align*} \tau_{\rm{max}} &= \cfrac{\left|V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}}\right|}{b \, I_{zz}} \\ &= \cfrac{\left| 30000 \, \cdot -506250 \right|}{125 \cdot 60750000} \\ &= 2 \, \rm{MPa} \end{align*} \end{split}\]

Dat geeft het volgende schuifspanningsverloop in de doorsnede:

Fig. 19 Schuifspanningsverloop op positieve snede in \(\rm{D}\).

Alternatieve afleiding

In hoofdstuk 5.1 en 5.3 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016) wordt een alternatief model afgeleid gegeven voor het bepalen van schuifspanningen.

Meer voorbeelden

In hoofdstuk 5.2 en 5.4.1 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016) worden meer voorbeelden gegeven van het bepalen van schuifspanningen in verschillende situaties. Negeer voorbeeld 5.2.2 - 5.2.4 en voorbeeld 2 in 5.4.1.

Oefeningen

Opgaves 5.2b, 5.3, 5.13 - 5.28, 5.69 en 5.71 in hoofdstuk 5 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016). Antwoorden zijn hier beschikbaar.