Hanbury - Brown and Twiss#
(HBT) - practicumhandleiding
Inleiding#
Wanneer een straal licht wordt gesplitst in twee richtingen en vervolgens gedetecteerd, dan verwacht je, als de afstand precies gelijk is, dat de ze gelijktijdig aankomen bij de detectoren. Als je echter gaat kijken naar enkele fotonen (single photons), dan kan het niet anders dat het ene foton bij de ene detector wordt gemeten en de andere bij de andere.
Doel#
In dit experiment wordt onderzocht in hoeverre laserlicht bestaat uit losse fotonen.
Theorie#
Met het Hanbury-Brown and Twiss experiment kan de correlatie tussen fotonen worden bepaald en daarmee de quantisatie van licht worden aangetoond.
Het experiment bestaat uit:
Licht bron,
Halfdoorlatende spiegel of beamsplitter, die het licht precies 50% doorlaat en 50% weerkaatst onder een hoek van 90°.
Foton detectoren (2)
Een manier om de correlatie te meten tussen de binnenkomende fotonen.
Zie hieronder voor een schematische tekening van het experiment.
Bron: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Correlation-interferometer.svg
Meer theorie – De tweede order correlatie functie en het HBT-experiment
De tweede orde correlatiefunctie \( g^{(2)}(t) \) speelt een centrale rol in het Hanbury Brown en Twiss (HBT) -experiment en helpt bij het begrijpen van de kwantummechanische eigenschappen van licht en andere deeltjes. Het experiment werd oorspronkelijk uitgevoerd om de coherentie en statistieken van fotonen te bestuderen, en heeft implicaties voor de interpretatie van klassiek en quantumlicht.
Het HBT-experiment#
Het HBT-experiment werd in de jaren 1950 uitgevoerd door Robert Hanbury Brown en Richard Twiss. Het doel was om de grootte van sterren te meten aan de hand van het licht dat van de sterren afkomstig is. Ze gebruikten hiervoor een techniek gebaseerd op intensiteitsinterferometrie, waarbij de correlatie tussen de intensiteit van het licht op twee verschillende detectoren werd gemeten.
De tweede orde correlatiefunctie \( g^{(2)}(t) \)#
De tweede orde correlatiefunctie \( g^{(2)}(t) \) beschrijft de waarschijnlijkheid om op twee verschillende momenten of op twee verschillende plekken een foton te detecteren. Het is een maat voor de correlatie tussen de intensiteit van het licht op twee detectoren. Voor fotonen wordt dit vaak gebruikt om de statistische eigenschappen van een lichtbron te bestuderen, zoals:
Coherent licht (zoals laserlicht),
Incoherent of thermisch licht (zoals licht van een gloeilamp of sterren),
Quantum licht (zoals uitgezonden door enkele, losse fotonen bronnen).
De functie is gedefinieerd als:
waarbij \(I(t)\) de intensiteit van het licht is op tijdstip \((t)\) en de hoekhaken \(\left\langle \right\rangle\) gemiddelde waarden aangeven.
De intensiteiten \(I\left( t_{0} \right)\) en \(I\left( t_{0} + t \right)\) in de correlatiefunctie staan voor de gemeten intensiteit op twee verschillende tijdstippen. De intensiteit kan worden gezien als het aantal fotonen dat in een korte tijdsperiode door de detector wordt waargenomen, of meer algemeen, het vermogen dat door de detector wordt ontvangen per oppervlakte-eenheid.
Dus voor twee verschillende detectoren, die respectievelijk een intensiteit \(I_{1}\) en \(I_{2}\) meten, zou de correlatiefunctie als volgt kunnen worden uitgedrukt:
Hierbij worden de gemeten intensiteiten op twee verschillende momenten (of posities) gecorreleerd en vergeleken met de verwachte waarden van de intensiteiten op zichzelf.
Hierbij kan t een kleine tijdsvertraging zijn waarbinnen je meet. Er wordt getracht t zo klein mogelijk te houden, deze is afhankelijk van de snelheid van de detector en de verwerking van de data.
Als t=0, meet je de gelijktijdige correlatie tussen de twee detectoren. Dit betekent dat je kijkt naar hoe vaak beide detectoren tegelijk een foton detecteren.
Als t≠0, introduceer je een tijdsvertraging tussen de twee metingen en kijk je hoe de waarschijnlijkheid verandert om een foton op verschillende tijdstippen op de twee detectoren te detecteren.
Omdat bovenstaande formule niet erg intuïtief en praktisch is, leiden we een praktischer verband af: Hiertoe moeten we de correlatiefunctie in termen van de intensiteiten (die fotonfluxen zijn) omzetten naar een praktische vorm waarin we het aantal coïncidenties meten.
Omdat geldt: \(N=I\cdot t\) kunnen we ook schrijven:
waarbij \(\langle N_A \rangle\) het gemiddeld aantal fotonen is dat detector A wordt gemeten en \(\langle N_{\text{A&B}} \rangle\) het gemiddeld aantal coïncidenties: Dat een foton gelijktijdig wordt gemeten bij detector A en B.
Het gemiddelde aantal fotonen dat we vinden binnen tijdsinterval \(\Delta t\), kunnen we berekenen met
Als we dit substitueren, krijgen we:
Na vereenvoudigen volgt:
Deze formule kun je opsplitsen in:
Waarbij het verwachte aantal coïncidenties wordt gegeven door:
Waarin \(N_{A}\) en \(N_{B}\) het totaal aantal gemeten fotonen is in detector A en B, \(T\) de totale meettijd is, en \(\Delta t\) de tijdsvertraging is (ook wel coïncidentie window genoemd).
Betekenis van de waarde van \(g^{(2)}(t)\)#
1. \(g^{(2)}(0) = 1\): Dit betekent dat er geen correlatie is tussen de fotonen op verschillende momenten of detectoren. Dit komt bijvoorbeeld voor bij coherent licht zoals dat van een ideale laser, waarbij de fotonen een Poissonverdeling volgen.
2. \(g^{(2)}(0) < 1\): Dit wordt geassocieerd met antibunching, wat betekent dat fotonen de neiging hebben om niet tegelijkertijd gedetecteerd te worden. Dit is een kenmerk van quantumlicht zoals dat van een enkele, losse fotonenbron. In dit geval is de waarschijnlijkheid om twee fotonen tegelijk te detecteren lager dan de kans om afzonderlijke fotonen te detecteren.
3. \(g^{(2)}(0) > 1\): Dit wijst op bunching, waarbij fotonen de neiging hebben om samen te komen. Dit komt vaak voor bij incoherent of thermisch licht (bijvoorbeeld licht van een gloeilamp), waarbij fotonen de neiging hebben om in groepen te komen. De waarschijnlijkheid om twee fotonen tegelijk te detecteren is hoger dan verwacht op basis van onafhankelijkheid.
4. \(g^{(2)}(grote\, t) \rightarrow 1\): Wanneer de tijdsvertraging t groot is, wordt de correlatie kleiner en convergeren alle bronnen naar \(g^{(2)}(t) = 1\), wat betekent dat er geen correlatie meer is tussen de fotonen op zeer verschillende tijdstippen.
\(\rightarrow\) Waarom is dat denk je?
Toepassingen van het HBT-experiment#
In het originele HBT-experiment werd deze correlatiefunctie gebruikt om aan te tonen dat fotonen van thermische bronnen (zoals sterren) bunching vertonen, d.w.z. dat fotonen vaker tegelijk worden gedetecteerd dan toevallig zou gebeuren. Dit bevestigde dat licht van thermische bronnen niet gelijkmatig verdeeld is in tijd, maar eerder in “groepen” komt.
Ook met klassieke golfoptica kan dit gedrag worden verklaard aan de hand van het samenkomen van golven van incoherente bronnen.
In moderne quantumoptica wordt \(g^{(2)}(t)\) veel gebruikt om te testen of een lichtbron losse, enkele fotonen uitzendt (antibunching) of klassiek licht uitzendt (coherent of incoherent licht). Bijvoorbeeld, voor een enkele fotonenbron geldt \(g^{(2)}(0) = 0\) , wat betekent dat de kans om twee fotonen tegelijkertijd te detecteren exact nul is.
Met klassieke golfoptica is dit verschijnsel niet te verklaren, hiervoor werkt alleen een quantumverklaring.
In de afbeelding is het verschil te zien tussen g2(t) < 1 (groen), g2(t) = 1 (rood), g2(t) > 1 (blauw), waarbij geldt t = de afgebeelde \(\tau\).
Afbeelding by Ajbura - Vectorised version of File:Photon bunching.png, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=73299604
Materiaal#
Ons experiment bestaat uit:
Laserdiode
ND-filter wiel - ND filter (neutral density – grijsfilter), filtert als een zonnebril de intensiteit van het laserlicht met instelbare factoren tot een minimale transmissie van 10-4.
Beamsplitter
Single foton detectoren (2 stuks)
Time-tagger, die van elk gedetecteerd foton de tijd labelt.
Software om de Time-tagger uit te lezen.
Foto’s
opstelling:
In bovenstaande foto’s is te zien:
Opstelling met zij- en
Bovenaanzicht (met linksboven de timetagger)
Een single photon detector
De beamsplitter met rechtsdaarvan het ND-filter wiel
PS: De voedingen zijn hierbij niet aangesloten, ook ontbreekt de behuizing voor complete verduistering.
Uitvoering#
Veiligheid#
Let bij de uitvoering op de veiligheid: Van laserlicht kun je blijvend blind raken. Ondanks dat deze laser is geselecteerd om mee te werken zonder extra veiligheidsmaatregelen wordt er toch geacht rekening te houden met de standaard afspraken wanneer je werkt met laserlicht:
Zorg dat je nooit rechtstreeks in de laser kijkt of anderen in het gezicht schijnt.
Kijk ook uit met strooi- of gereflecteerd licht.
De laser wordt dan ook niet gedemonteerd.
De uitvoering in stappen:#
Stel het filter wiel in. (Start met 6 is zwakste, vervolgens 1, 2,3, 4, 5 sterkste.)
Controleer de opstelling.
Sluit de verduisterende behuizing.
Schakel de voedingen aan van de laser en detectoren.
Sluit de USB aan.
Start de Thorlabs software op (EDU-QOP1.vi) - negeer de foutmelding betreffende de KLD101 laser controller (die hebben we niet).
Selecteer het HBT tabblad.
Selecteer de gewenste Measurement Time linksboven (kies om te testen de standaard 60 seconden).
Start Measurement (Pop up “Please switch on the laser” – zet de laser handmatig aan met het knopje op de USB connector bij het stopcontact, het lampje zal gaan knipperen en vervolgens gaan branden. De “Laser Satus” in de software zal “OFF” blijven.)
Maak een screenshot (windowstoets+shift+s).
Noteer het aantal gemeten coïncidenties, het aantal counts bij detector A en bij B en de berekende waarde voor g2(0).
Maak nu een meetplan naar gelang hoeveel tijd je hebt voor dit experiment. Met filter 6 en 1 heb je relatief snel data, bij de andere filters duurt het veel langer omdat deze veel meer absorberen. Meet bijvoorbeeld met filter 6 eerst voor 1 minuut, en vervolgens voor 5 minuten, etc.
Voer dit meetplan uit. Terwijl je wacht op de meting, kan je wel alvast een aantal opdrachten hieronder uitrekenen (2 t/m 8).
Opmerkingen: Zet voor het openen de sensoren en laser uit met de knop van het stekkerblok. De sensoren zijn zeer gevoelig voor te veel licht. Het filter moet dan ook ten-allen-tijde voor de laser blijven staan als deze aanstaat, anders gaan de heel dure sensors kapot…
Afbeelding: Screenshot van een meting
Resultaten en opdrachten#
Controleer van minstens één meting de door de software berekende waarde van g2(0) door deze waarde zelf uit te rekenen met formules (5) en (6). De tijdsvertraging van deze meetapparatuur is 5 ns. Noteer je berekening en vergelijk je uitkomst.
De tijdvertraging van de apparatuur is 5 ns. Bereken welke het aantal fotonen dat hierin past, als je van de golflengte van rood laserlicht \(\lambda = 650 \: nm\) uitgaat.
Bereken het aantal fotonen dat een 1 mW laser in 5ns uitzendt.
Vergelijk bovenstaande antwoorden.
Het laserlicht wordt ook nog voor 107 gefilterd. Bereken het aantal fotonen in 5 ns.
Een typische meting geeft voor de frequentie waarmee de fotonen worden geteld een Rate van 2,5 kHz. (Zie ook screenshot hierboven).
Bereken de gemiddelde tijdsduur tussen de fotonen.
Bereken de kans om een foton aan te treffen in 5 ns.
De kans om een coïncidentie te meten, dus dat beide detectoren tegelijk een foton meten in hetzelfde tijdsinterval \(\Delta t = 5 \: ns\), terwijl elke detector meet met een Rate van 2500 fotonen per seconde kun je als volgt berekenen:
Bereken eerst de kans per detector:
\(\langle{N}\rangle = \text{Rate} \cdot \Delta t = \text{gemiddeld aantal fotonen per detector in het tijdsinterval}\)
Voor N << 1 geldt: De kans \(P_1\) dat er precies één foton wordt gemeten is gelijk aan \(\langle{N}\rangle\), het gemiddeld aantal fotonen per detector in het tijdsinterval. Dus:
\(P_1 = \langle{N}\rangle\)
Poisson-verdeling
(De extra uitleg in dit kader kun je ook even overslaan.)
\(P_1 = \langle{N}\rangle\) geldt omdat de kans om precies \(k\) fotonen te detecteren in een tijdsinterval wordt gegeven door de Poisson-verdeling:\(P(k) = \frac{\langle{N}\rangle^k e^{-\langle{N}\rangle}}{k!}\),
waarbij geldt: \(P(k)\): kans om precies \(k\) fotonen te meten, \(\langle{N}\rangle\) het gemiddelde aantal fotonen in het interval is.
Voor \(k=1\):
\(P(1) = \langle{N}\rangle e^{-\langle{N}\rangle}\)Als \(\langle{N}\rangle \ll 1\), kunnen we de exponent benaderen met een Taylorreeks: \(e^{-\langle{N}\rangle} \approx 1 - \langle{N}\rangle + \frac{\langle{N}\rangle^2}{2} - \dots\)
Omdat \(\langle{N}\rangle\) heel klein is, zijn de hogere machten \(\langle{N}\rangle^2\), \(\langle{N}\rangle^3\), etc. verwaarloosbaar en kunnen de hogere termen in de tailorreeks worden verwaarloosd: \(e^{-\langle{N}\rangle} \approx 1 - \langle{N}\rangle\)
Invullen geeft: \(P(1) \approx \langle{N}\rangle (1 - \langle{N}\rangle) \approx \langle{N}\rangle\), want (\(\langle{N}\rangle^2\) is verwaarloosbaar).
Dus geldt hier: \(P(1) = \langle{N}\rangle\)
Vervolgens bereken we de kans op coïncidenties:
Het aantal keer dat deze kans voorkomt kun je berekenen door het aantal tijdsintervallen dat past in de meettijd te vermenigvuldigen met de kans. Het aantal tijdsintervallen in de screenshot hierboven (meettijd = 180 s) is:
Tenslotte kan het verwachte aantal coïncidenties \(N_\text{coïncidentie}\) als volgt worden berekend:
Bereken dit aantal.
Komt dit aantal overeen met de berekening met formule (6)?
Om een zinnig antwoord op de vorige vraag te kunnen geven moet je weten hoe groot de spreiding is in het gevonden getal. We kunnen de onzekerheid of standaarddeviatie berekenen met het gegeven dat het aantal coïncidenties een Poisson verdeling volgt. De standaarddeviatie van een Poisson-verdeeld proces is gelijk aan de wortel van het gemiddelde:
Bereken \(\sigma\)
\(N_{coïncidenties}\) kan dus \(\sqrt{N_{coïncidenties}}\) groter of kleiner zijn.
De nauwkeurigheid van het experiment kan tenslotte worden berekend met de relatieve onzekerheid \(\frac{\sqrt{N}}{N}\).
Bereken deze in procenten.
Conclusie & Evaluatie#
Geef hieronder je conclusies met betrekking tot de uitkomsten (de resultaten) en het doel van de proef. Kun je antwoord geven op de volgende vragen?
Wat kun je zeggen over de nauwkeurigheid van de opstelling en dus de gevonden resultaten?
Leg uit of 4 coïncidenties ook echt 4 coïncidenties zijn of dat dit een meetfout is, omdat geldt \(\Delta t \) te groot is?
Geef verschillende manieren om de nauwkeurigheid van de proef te vergroten.
Wat gebeurt er als je veel langer meet?
Kun je nu de vorm van de grafieken van je screenshots verklaren?
Hoe kan g2(0) = 4 zijn?
Kun je uit het experiment concluderen dat single photons (enkele, losse fotonen) bestaan?
Ideeën en bronnen:#
Experiment: Tellen van Geiger-Müller-pulsen als Poisson-proces#
Dit experiment is tot stand gekomen met ChatGPT v4.0.
Doel#
Het aantonen van een Poisson-verdeling in een natuurlijk proces: het aantal gemeten ionisaties door een Geiger-Müller-teller.
Een analogie leggen met het gedrag van fotonen in het HBT-experiment.
Benodigdheden#
Een Geiger-Müller-teller (bijvoorbeeld een betaalbare educatieve GM-teller).
Een stabiele stralingsbron (bijvoorbeeld een zwak radioactief element zoals een americiumbron uit een rookmelder, indien toegestaan, of natuurlijke achtergrondstraling).
Een computer met een timer en datalogging (bijvoorbeeld via een Arduino of rechtstreeks met de GM-teller als deze USB-output heeft).
Software voor analyse (Excel of Python).
Werkwijze#
1. Gegevens verzamelen#
Plaats de Geiger-Müller-teller in een omgeving met stabiele achtergrondstraling of nabij een bekende zwakke stralingsbron.
Stel een vast tijdsinterval in, bijvoorbeeld 1 seconde.
Tel het aantal pulsen (events) per tijdsinterval gedurende een langere meetperiode (bijvoorbeeld 10 minuten of langer).
2. Data analyseren#
Maak een histogram van het aantal gemeten pulsen per tijdsinterval.
Bereken de gemiddelde waarde \(\lambda\) en de standaardafwijking \(\sqrt{\lambda}\).
Vergelijk de gemeten verdeling met de theoretische Poisson-verdeling: \( P(k; \lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)
3. Optionele uitbreiding: Tijdscorrelaties#
Meet de tijd tussen opeenvolgende pulsen (de inter-arrivaltijden).
Maak een histogram van deze tijden en onderzoek of ze een exponentiële verdeling volgen, zoals verwacht voor een Poisson-proces.
Analogietrekking met het HBT-experiment#
Poissonverdeling van pulsen:
Net zoals de GM-teller ionisaties willekeurig registreert, registreert een detector in het HBT-experiment fotonen. Als de lichtbron coherent is (zoals een laser), vertonen de fotonen een vergelijkbaar willekeurig patroon.
Correlaties:
In het HBT-experiment worden gelijktijdige detecties (coïncidenties) onderzocht. Bij een coherente lichtbron zou je ongecorreleerde statistieken verwachten, terwijl bij quantumgecorreleerde of juist thermische lichtbronnen hiervan afwijken.
Conclusie#
Dit experiment toont aan dat het aantal ionisaties in een GM-teller een Poisson-verdeling volgt. De leerlingen kunnen deze resultaten relateren aan het HBT-experiment door te begrijpen hoe willekeurige en gecorreleerde gebeurtenissen fundamenteel verschillen. Dit biedt een toegankelijke manier om statistiek en natuurkundige principes te combineren!
Voorbeeld onderzoeksvragen PWS:#
Hoe werkt een laser?
Wat is een Poissonverdeling en gedraagt laserlicht zo?
Is laserlicht een quantumlichtbron? En bestaat licht uit losse fotonen?
Gebruik hierbij de volgende video:
In deze video wordt de oorspronkelijke tweede orde correlatiefunctie met de intensiteitsvariabelen uitgelegd (formule 1):
https://youtu.be/gE-gji46qEc?si=zOEEoTLkuUOsBFYm
Er zijn ook documenten beschikbaar met meer uitleg en achtergrond informatie.
Antwoorden op de vragen vind je hieronder:
Resultaten en opdrachten – Uitwerkingen#
1. Controle van \(g^{(2)}(0)\)#
Zelf doen.
2. Aantal fotonen in 5 ns bij \(\lambda = 650nm \)#
\( \text{Afstand in 5 ns} = c \cdot t = 3 \times 10^8 \cdot 5 \times 10^{-9} = 1.5 \, \text{m} \)
\( N = \frac{1.5}{650 \times 10^{-9}} \approx 2.31 \times 10^6 \)
Antwoord: Ongeveer 2.31 miljoen fotonen passen in 5 ns.
3. Aantal fotonen uitgezonden door 1 mW laser in 5 ns#
Energie per foton:
\( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \cdot 3 \times 10^8}{650 \times 10^{-9}} \approx 3.06 \times 10^{-19} \, \text{J} \)
Totaal energie:
\( E_{\text{totaal}} = 1 \times 10^{-3} \cdot 5 \times 10^{-9} = 5 \times 10^{-12} \, \text{J} \)
\( N = \frac{5 \times 10^{-12}}{3.06 \times 10^{-19}} \approx 1.63 \times 10^7 \)
Antwoord: Ongeveer 16.3 miljoen fotonen in 5 ns.
4. Vergelijking#
Vraag 2: 2.31 miljoen fotonen passen in 5 ns
Vraag 3: 16.3 miljoen fotonen worden uitgezonden
Conclusie: Fotonen kunnen naast elkaar zitten in bundels (bunches).
5. Verzwakt laserlicht met factor \( 10^7 \)#
\( N = \frac{1.63 \times 10^7}{10^7} = 1.63 \)
Antwoord: Gemiddeld 1.63 fotonen per 5 ns.
6. Rate = 2.5 kHz#
a. Gemiddelde tijd tussen fotonen:#
\( T = \frac{1}{2500} = 0.0004 \, \text{s} = 400 \, \mu s \)
b. Kans op foton in 5 ns:#
\( P = \frac{5 \times 10^{-9}}{400 \times 10^{-6}} = 1.25 \times 10^{-5} \)
7. Kans op coïncidentie#
\( {P_1}=\langle{N}\rangle = 2500 \cdot 5 \times 10^{-9} = 1.25 \times 10^{-5} \)
\( P_{\text{coïncidentie}} = (1.25 \times 10^{-5})^2 = 1.56 \times 10^{-10} \)
\( N_{\text{intervallen}} = \frac{180}{5 \times 10^{-9}} = 3.6 \times 10^{10} \)
\( N_{\text{coïncidentie}} = 1.56 \times 10^{-10} \cdot 3.6 \times 10^{10} \approx 5.6 \)
Antwoord: Verwacht 5.6 coïncidenties in 180 s.
8. Onzekerheid en relatieve fout#
Standaarddeviatie bij 5.6 coïncidenties:
\(
\sigma = \sqrt{5.6} \approx 2.4
\)
Dus \(N_{\text{coïncidentie}} = 5.6 \pm 2.4\)
Relatieve onzekerheid:
\( \frac{2.4}{5.6} = 0.42 = 42\% \)
Conclusie: Het gemeten aantal coïncidenties \(4\) komt binnen de nauwkeurigheid overeen met het berekende aantal coïncidenties \(5.6 \pm 2.4\).