Apply displacement method with statically unknown displacements

There are two displacement methods: the displacement method which solves for statically unknown displacements, and the displacement method which solves for degrees of freedom. This page treats the first method.

Bij de krachtenmethode maak je gebruik van vormveranderingsvoorwaardes om de statisch onbepaalde krachten te bepalen. Echter, met dezelfde aanpak kan je ook evenwichtsvoorwaardes opstellen om statisch onbepaalde verplaatsingen op te lossen: de verplaatsingenmethode. Dit kan nuttig zijn omdat een enkele evenwichtsvoorwaarde soms al kan voldoen tegenover meerdere vormveranderingsvoorwaardes.

De stappen zijn zeer vergelijkbaar met de krachtenmethode, met als enige verschil dat we geen opleggingen weg kunnen nemen omdat de statisch onbepaalde verplaatsing daar gelijk moet zijn aan 0.

Algorithm (Verplaatsingenmethode met statisch onbepaalde verplaatsingen)

1. Bepaal de graad van statische bepaaldheid.

2. Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij pendelstaven of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde verplaatsingen toe en evenwichtsvoorwaarden toe voor elke aansluiting van de pendelstaven die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!

   Splitsen constructie bij pendelstaven

   

   Toevoegen scharnieren

   

3. Los de krachten op in termen van de onbekende onbepaalde verplaatsingen.

4. Gebruik je evenwichtsvoorwaarden om de statisch onbepaalde verplaatsingen op te lossen.

De toepassing van de verplaatsingenmethode wordt getoond op onderstaande voorbeeld.

Example

Fig. 40 Voorbeeldconstructie, \(EI = 120 \ \rm{MNm^2}, EA >> EI\)

1. Bepaal de graad van statische bepaaldheid.

   Example

   Voor ons voorbeeld zijn we geïnteresseerd in de interne krachtenverdeling, dus moeten we de graad van interne statische onbepaaldheid evalueren.

   

   Fig. 41 Er zijn 20 onbekende krachten.

   

   Fig. 42 Er zijn 18 evenwichtsvergelijkingen.

   Deze constructie is dus 2e orde intern statisch onbepaald.

2. Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij pendelstaven of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde verplaatsingen toe en evenwichtsvoorwaarden toe voor elke aansluiting van de pendelstaven die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!

   Example

   Er zijn geen pendelstaven in deze constructie, dus de enige optie is het toevoegen van scharnier. Twee scharnieren net links en rechts van \(\rm{D}\) komt op hetzelfde neer als één scharnier in \(\rm{D}\), leidend tot het volgende statisch bepaalde systeem.

   

   Fig. 43 Statisch onbepaalde systeem met statisch onbepaalde verplaatsing \(\varphi_{\rm{D}}\) en evenwichtsvergelijking \(-M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} + M_{\rm{D}}^{\rm{BD}} + M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} = 0\), \(EI = 120 \ \rm{MNm^2}, EA >> EI\)

3. Los de krachten op in termen van de onbekende onbepaalde verplaatsingen.

   Example

   Elk van de krachten \(M_{\rm{D}}^{\rm{AD}}\), \(M_{\rm{D}}^{\rm{CD}}\), \(M_{\rm{D}}^{\rm{BD}}\) kan nu worden uitgedrukt als functie van \(\varphi_{\rm{D}}\) met behulp van vergeet-me-nietjes:

   • Voor \(\rm{AD}\): \(\varphi_{\rm{D}} = \cfrac{5M_{\rm{D}}^{\rm{AD}}}{3 \cdot 120000} + \cfrac{ 15 \cdot 5}{6 \cdot 120000}\).

   • Voor \(\rm{BD}\): \(\varphi_{\rm{D}} = - \cfrac{2M_{\rm{D}}^{\rm{BD}}}{3 \cdot 120000} - \cfrac{ 12 \cdot 2^3}{24 \cdot 120000}\)

   • Voor \(\rm{CD}\): \(\varphi_{\rm{D}} = - \cfrac{5M_{\rm{D}}^{\rm{CD}}}{3 \cdot 120000}\)

   Dit kan worden omgeschreven naar:

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} = 72000 \varphi_{\rm{D}} - 7.5 \)

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{DB}} = - 180000 \varphi_{\rm{D}} - 6 \)

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} = - 72000 \varphi_{\rm{D}}\)

4. Gebruik je evenwichtsvoorwaarden om de statisch onbepaalde verplaatsingen op te lossen.

   Example

   Invullen van onze uitdrukkingen voor de momenten in onze evenwichtsvergelijking \(-M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} + M_{\rm{D}}^{\rm{BD}} + M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} = 0\) geeft: \(\varphi_{\rm{D} } = \cfrac{1}{216000} = 4.63 \cdot 10^{-6} \ \rm{rad}\)

   Eventueel kan nu ook de momentenverdeling worden gevonden:

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} = -\cfrac{43}{6} \approx -7.17 \ \rm{kNm}\)

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{DB}} = -\cfrac{41}{6} \approx -6.83 \ \rm{kNm}\)

   • \(M_{\rm{D}}^{\rm{DC}} = -\cfrac{1}{3} \approx - 0.333 \ \rm{kNm} \)

   

   Fig. 44 Momentenlijn.

Instructies in collegevorm

Dit onderwerp is in constructiemechanica 3, 2025-2026, les 10 gepresenteerd in collegevorm van 0:17:00- 0:51:50.

Meer voorbeelden

De voorbeelden in hoofdstuk 4.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007) vormen onderdeel van de aanpak van de verplaatsingemethode die vrijheidsgraden oplost, maar kunnen ook opgelost worden met de aanpak zoals hierboven beschreven

Oefeningen

• Opgaves 4.4 - 4.33, 4.35, 4.36 in hoofdstuk 4.5 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Negeer de opmerkingen over welke vrijheidsgraad gekozen moet worden. Er zijn helaas geen antwoorden beschikbaar. Je kan de constructies doorrekenen met MatrixFrame om je antwoorden te controleren.