Solve structures subjected to stiffness influences

Solve structures subjected to stiffness influences#

Verschillen in stijfheden zorgen bij statisch bepaalde constructies niet voor een krachtsherverdeling, enkel op de verplaatsingen. Bij statisch onbepaalde constructies zorgen stijfheidsverschillen ook voor verschillen in de krachtsverdeling. Het analyseren van de invloed hiervan kan erg interessant zijn.

Er zijn twee manieren om de stijfheidsinvloeden te analyseren:

  1. Los op met een onbekende vermenigvuldigingsfactor \(n \cdot EI\) of \(n \cdot EA\). Dit geeft een uitdrukking voor krachten/verplaatsingen en maakt het mogelijk een asymptotische grafiek te maken ten opzichte van \(n\). Bij deze aanpak dient altijd een statisch bepaalde constructies opgelost te worden met een methode naar keuze.

  2. Onderzoek extremen: bekijk beide gevallen van \(EI \to 0\) of \(EA \to 0\) en \(EI \to \infty\) of \(EA \to \infty\). Hiermee kun je de uiterste gevallen van krachten en de omhullende van inwendige krachten/verplaatsingen bepalen. Alle werkelijke stijfheidswaarden moeten binnen deze envelop liggen. Bij deze analyse vereenvoudigt een statisch bepaalde constructie soms tot een statisch bepaalde constructie.

We behandelen beide aanpakken op de volgende constructie:

Example

../_images/systeem.svg

Fig. 64 Voorbeeldconstructie#

Vermenigvuldigingsfactor#

  1. Bepaal de graad van statische bepaaldheid.

    Example

    Deze constructie is 1e orde intern statisch onbepaald.

  2. Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij een pendelstaaf, of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde krachten en vervormingsvoorwaardes toe voor elke opleggging die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!

    Example

    Er wordt hier gekozen voor hoekveranderingsvergelijkingen. Dat geeft dit statisch bepaalde systeem.

    ../_images/SB_systeem_2.svg

    Fig. 65 Statisch bepaald systeem#

  3. Los de verplaatsing op in termen van de onbekende onbepaalde krachten zoals je normaal zou doen voor een statisch bepaalde constructie.

    Example

    Met behulp van vergeet-me-nietjes kunnen de rotaties worden gevonden ten gevolge van de momenten en verdeelde belasting.

    • \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{AB}}} = \cfrac{4 M_{\rm{B}}}{3 EI} + \cfrac{8}{EI}\)

    • \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{BC}}} = \cfrac{-4 M_{\rm{B}}}{3 n EI}\)

  4. Gebruik je vormveranderingsvoorwaarden om de statisch onbepaalde krachten op te lossen

    Example

    \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{AB}}} = \varphi _{\rm{B}}^{{\rm{BC}}}\) geeft \(M_{\rm{B}} = -\cfrac{6n}{n+1}\). \(M_{\rm{D}}\) is dan \(-\cfrac{3n}{n+1}+8\) (◡).

    Voor \(n=0\) geeft dit:

    • \(M_{\rm{B}} = 0 \ \rm{kNm}\)

    • \(M_{\rm{D}} = 8 \ \rm{kNm}\)

    Voor \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \) geeft dit:

    • \(M_{\rm{B}} = -6 \ \rm{kNm}\)

    • \(M_{\rm{D}} = 5 \ \rm{kNm}\)

    Deze resultaten kunnen geplot worden:

    ../_images/steunpuntszetting.svg

    Fig. 66 Verloop momenten voor waardes van n#

Extremen#

Example

Geval \(nEI \to 0\)

Voor het eerste geval van \(nEI \to 0 \) heeft het rechter gedeelte van de constructie geen stijfheid meer. Je zou het gedeelte \(\rm{AB}\) daarom kunnen zijn als een statisch bepaalde ligger op twee steunpunten:

../_images/systeem_0.svg

Fig. 67 \(\rm{AB}\) als \(nEI \to 0 \)#

Dit geeft direct het moment in \(\rm{D}\) met \(\cfrac{1}{4}FL = 8 \ \rm{kNm}\) en de volgende momentenlijn:

../_images/M_1.svg

Fig. 68 Momentenlijn voor \(nEI \to 0 \)#

Geval \(nEI \to \infty\)

Voor het tweede geval van \(nEI = \infty\) wordt het rechter gedeelte oneindig stijf:

../_images/systeem_inf.svg

Fig. 69 Statisch onbepaalde ligger voor \(nEI \to \infty\)#

Dit geeft de volgende rotaties voor het statisch bepaalde systeem met vormveranderingsvoorwaarde \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{AB}}} = \varphi _{\rm{B}}^{{\rm{BC}}}\) (zie de toepassing van hoekveranderingsvergelijkingen met de vermenigvuldigingsfactor):

  • \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{AB}}} = \cfrac{4 M_{\rm{B}}}{3 EI} + \cfrac{8}{EI}\)

  • \(\varphi _{\rm{B}}^{{\rm{BC}}} = 0\)

Resulterend in \(M_{\rm{B}} = 6 \ \rm{kNm}\) en \(M_{\rm{D}} = 5 \ \rm{kNm}\):

../_images/M_2.svg

Fig. 70 Momentenlijn voor \(nEI \to \infty \)#

Omhullende momentenlijn#

Example

De extreme momenten kunnen gecombineerd worden tot omhullende momentenlijn waarbij alle mogelijk waardes voor het moment voor \(n\) in het grijze gedeelte vallen.

../_images/omhullende.svg

Fig. 71 Omhullende momentenlijn#

Dit kan ook gedaan worden voor andere krachts- en verplaatsingsgrootheden.

Instructies in collegevorm#

Dit onderwerp is in constructiemechanica 3, 2025-2026, les 8 gepresenteerd in collegevorm van 0:40:10 tot 1:02:00

Meer voorbeelden#

In hoofdstuk 7 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007) worden stijfheidsinvloeden behandeld. De aanpak van hoekveranderingsvergelijkingen met verplaatsbare knopen bij hoofdstuk 7.1 voorbeeld 2 kan worden vervangen door een van de bekende methodes.

Contents