Begeleide oefening 2: Matrixmethode
Gegeven is de volgende constructie:
Fig. 248 Constructie
Gegeven is \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} \varphi_{\rm{A}} & \varphi_{\rm{B}} & \varphi_{\rm{C}} & \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix}^T\) .
Opgave
Bepaal de elementstijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) voor element \(\rm{AD}\) en \(\rm{CD}\) .
Oplossing
De stijheidsmatrix is definiëerd als \(\mathbf{K^{\rm{(e)}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 EI}{L} & \cfrac{2EI}{L} \\ \cfrac{2EI}{L} & \cfrac{4EI}{L} \end{bmatrix}\) . Dit geeft:
\[\begin{split}
\mathbf{K^{\rm{AD}}} = \mathbf{K^{\rm{AD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{5} & \cfrac{2 \cdot 120000}{5} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{5} & \cfrac{4 \cdot 120000}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 96000 & 48000 \\ 48000 & 96000 \end{bmatrix}
\end{split}\]
Opgave
Bepaal de elementstijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) voor element \(\rm{BD}\) .
Oplossing
\[\begin{split}
\mathbf{K^{\rm{BD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{2} & \cfrac{2 \cdot 120000}{2} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{2} & \cfrac{4 \cdot 120000}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 240000 & 120000 \\ 120000 & 240000 \end{bmatrix}
\end{split}\]
Opgave
Bepaal de globale stijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) .
Oplossing
Alle stijfheidsmatrices kunnen worden samengevoegd in de globale stijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) . Hierbij worden de kolommen en rijen gekoppeld aan de juiste vrijheidsgraden. We beginnen met element \(\rm{AD}\) , dat knopen \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 1 en 4):
\[\begin{split}
\mathbf{K} =
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
48000 & 0 & 0 & 96000\\
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Nu voegen we het tweede element \(\rm{CD}\) toe, dat knopen \(\rm{C}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 3 en 4):
\[\begin{split}
\mathbf{K} =
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 0 & 48000 & 192000\\
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Tot slot voegen we het derde element \(\rm{BD}\) toe, dat knopen \(\rm{B}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 2 en 4):
\[\begin{split}
\mathbf{K} =
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 240000 & 0 & 120000\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Opgave
Bepaal de krachtvector \(\mathbf{F}\) .
Oplossing
Nu kan de krachtvector worden opgesteld. Begin met de externe krachten:
\[\begin{split}
\mathbf{f} =
\begin{bmatrix}
0 \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Vervolgens worden de opleggingen toegevoegd. De oplegging bij \(\rm{A}\) levert een moment op van \(M_{\rm{A}}\) . Dit geeft de volgende krachtvector:
\[\begin{split}
\mathbf{f} =
\begin{bmatrix}
M_{\rm{A}} \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Opgave
Bepaal de waarde van de vrijheidsgraden \(\varphi_{\rm{A}}\) , \(\varphi_{\rm{B}}\) , \(\varphi_{\rm{C}}\) en \(\varphi_{\rm{D}}\) .
Oplossing
Het hele systeem kan nu worden opgelost met de volgende vergelijking:
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}
96000 & 0 & 0 & 48000\\
0 & 240000 & 0 & 120000\\
0 & 0 & 96000 & 48000\\
48000 & 120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
M_{\rm{A}} \\
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Om de onbekende rotaties op te lossen, kan de eerste rij en kolom worden verwijderd:
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}
240000 & 0 & 120000\\
0 & 96000 & 48000\\
120000 & 48000 & 432000\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
29 \\
0 \\
-29
\end{bmatrix}
\end{split}\]
Dit geeft:
\[\begin{split}
\begin{bmatrix}
\varphi_{\rm{B}} \\
\varphi_{\rm{C}} \\
\varphi_{\rm{D}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cfrac{7}{19200} \\
\cfrac{1}{16000} \\
\cfrac{-1}{8000}
\end{bmatrix}
\approx
\begin{bmatrix}
3.65 \cdot 10^{-4} \\
6.25 \cdot 10^{-5} \\
-1.25 \cdot 10^{-4}
\end{bmatrix}
\end{split}\]
