Instructie

De vorige keer hebben we gekeken naar schuifspanningen in dikwandige doorsnedes. In deze instructie breiden we dat uit naar schuifspanningen in dunwandige doorsnedes.

Implicaties model schuifspanningen voor dunwandige doorsneden

Voor dunwandige doorsneden geldt dat de wanddikte klein is ten opzichte van de andere afmetingen van de doorsnede. Dit heeft tot gevolg dat overal wordt voldaan aan de voorwaarde \(h \gg b\) en \(R \gg b\) en lopen de schuifspanningen altijd evenwijdig aan de wand. Daarmee kunnen we ook in een knooppunt waar meerdere constructiedelen bij elkaar komen de schuifspanningen berekenen, in tegenstelling tot dikwandige doorsnedes. Dus kan de schuifspanning in de gehele doorsnede worden bepaald.

Voorbeeld

Hieronder zijn twee voorbeelden getoond van dunwandige doorsneden waar de schuifspanningen overal kunnen worden bepaald.

Fig. 63  

Ook in de uiteindes van de flenzen en in de knooppunten tussen flens en lijf kunnen schuifspanningen worden bepaald terwijl bij een dikwandige doorsnede hier complexe spanningsverdelingen optreden.

Fig. 64  

Ook in de de hoekpunten kunnen de schuifspanningen worden bepaald terwijl bij een dikwandige doorsnede hier complexe spanningsverdelingen optreden.

Omdat we nu de schuifspanning in de volledige continue doorsnede kunnen bepalen met ons schuifspanningsmodel kunnen we de schuifspanning zien als een ‘stroom’ van de dwarskracht door de doorsnede. Aangezien de dwarskracht de resultante is van de schuifspanningen kan de richting van de schuifspanning in elk van de doorsnededelen worden afgeleid zonder een berekening te maken. Daarvoor is het over het algemeen van belang dat de richting van de maximale schuifspanning overeenkomt met de richting van de dwarskracht.

Voorbeeld

Hieronder zijn twee voorbeelden getoond waarin de richting van de schuifspanningen kan worden afgeleid uit de richting van de dwarskracht.

Fig. 65  

In het lijf moet de schuifspanning naar beneden lopen als er een dwarskracht omlaag werkt. Om een symmetrisch stroom te krijgen moet de schuifspanningen in de bovenste flenzen naar binnen en in de onderste flenzen naar buiten lopen.

Fig. 66  

In het linker lijf kan de grootste verticale kracht optreden (ter hoogte van het normaalkrachtencentrum), dus bij een dwarskracht omlaag moet de schuifspanning in dat lijf naar beneden lopen. De richting van de schuifspanningen in de flenzen en in het rechter lijf volgt dan uit de stroming van de schuifspanning.

Voorbeeld

Het bepalen van de schuifspanningen voor een dunwandige doorsnede wordt getoond op onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld

Gegeven is de volgende constructie en doorsnede:

Fig. 67  

De doorsnede mag als dunwandig worden beschouwd.

Fig. 68  

Gevraagd is het schuifspanningsverloop op een negatieve snede.

Zonder een berekening te maken kunnen we al wat zeggen over de schuifspanningen in de verschillende delen van de doorsnede:

• Vanwege symmetrie moet de schuifspanning middenin de flens gelijk zijn aan \(0\).

• Dat geldt ook voor de vrije uiteindes van zowel de flens als het lijf.

• De horizontale flens zal een lineair verloop van de schuifspanning hebben in de horizontale richting.

• Het verticale lijf zal een parabolisch verloop van de schuifspanning hebben in de verticale richting.

• Het maximum van de schuifspanning zit ter hoogte van het normaalkrachtencentrum omdat daar het statisch moment van het afschuivend gedeelte het grootst is.

• De dwarskracht met vervormingsteken ⎽|⎺ zorgt voor een dwarskracht omhoog op een negatieve snede.

• Vanwege de stroming van de schuifstroom zal de schuifspanning vanuit in het lijf vanuit de flenzen naar buiten en binnen stromen en afnemen.

Fig. 69  

Om de daadwerkelijke waardes te berekenen beginnen we met het bepalen van de doorsnedegrootheden, startend met het oppervlakte \(A\).

\[ A = 200 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 150 = 2000 \, \rm{mm^2} \]

Vervolgens kunnen we het zwaartepunt/normaalkrachtencentrum bepalen.

\[ \bar{z}_{\rm{N.C.}} = \cfrac{2 \cdot 150 \cdot 4 \cdot \cfrac{150}{2}}{2000} = 45 \, \rm{mm} \]

Daarmee kan het traagheidsmoment \(I_{zz}\) worden bepaald.

\[\begin{split} \begin{align*} I_{zz} = & \,\cfrac{1}{12} \cdot 200 \cdot 4^3 + 200 \cdot 4\ \cdot \left(-45\right)^2 \\ & + 2 \cdot \left( \cfrac{1}{12} \cdot 4 \cdot 150^3 + 4 \cdot 150 \cdot \left( \cfrac{150}{2} -45 \right)^2 \right)\\ \approx & \, 4.95 \cdot 10^6 \, \rm{mm^4} \end{align*} \end{split}\]

Uit het eerder bepaalde verloop blijkt dat een aantal punten interessant zijn om de schuifspanning te bepalen:

• Ter hoogte van het normaalkrachtencentrum

• Rondom de aansluiting van het lijf met de flens

Beginnend met de schuifspanning ter hoogte van het normaalkrachtencentrum, waarbij één van de twee lijven wordt doorgesneden:

Fig. 70 Afschuifvlak ter hoogte van het normaalkrachtencentrum.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot \left(150 - 45 \right) \cdot \cfrac{\left(150 - 45 \right)}{2} = 22050 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 22050\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 11 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Vervolgens net onder de aansluiting van het lijf met de flens, waarbij wederom één van de twee lijven wordt doorgesneden:

Fig. 71 Afschuifvlak net onder de aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot 150 \cdot \left(\cfrac{150}{2}-45\right) = 18000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 18000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 9.0 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Vervolgens nemen we een afschuifvlak net links van de linker aansluiting van het lijf met de flens, waarbij nu de flens wordt doorgesneden:

Fig. 72 Afschuifvlak net links van de linker aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 4 \cdot 50 \cdot \left(-45\right) = -9000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot -9000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 4.5 \, \rm{MPa} \end{split}\]

En tot slot het afschuifvlak net rechts van de linker aansluiting van het lijf met de flens, wederom met de flens doorgesneden:

Fig. 73 Afschuifvlak net rechts van de linker aansluiting van het lijf met de flens.

\[\begin{split} S_{z}^{\rm{a}} = 18000-9000 = 9000 \, \rm{mm^3} \\ \tau = \cfrac{\left| V \, S_{z}^{\rm{a}} \right| }{I_{zz} \, t} \approx \cfrac{\left| 9900 \cdot 9000\right|}{4 \cdot 4.95 \cdot 10^6 } \approx 4.5 \, \rm{MPa} \end{split}\]

Dit geeft dus het volgende schuifspanningsverloop:

Fig. 74 Schuifspanningsverloop

Meer voorbeelden

In hoofdstuk 5.4.2 en 5.4.3 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016) worden meer voorbeelden gegeven van het bepalen van schuifspanningen in verschillende situaties.

Instructies in collegevorm

Dit onderwerp is in les 7 gepresenteerd in collegevorm van 16:40 tot 53:50.

Oefeningen

Opgaves 5.33 - 5.46 in hoofdstuk 5 van het boek Mechanica, spanningen, vervormingen en verplaatsingen (Hartsuijker and Welleman, 2016). Antwoorden zijn hier beschikbaar.