Begeleide oefening 1

In Instructie is het schuifspanningsverloop op een positieve snede in doorsnede \(\rm{D}\) gevonden voor de volgende constructie:

Fig. 31  

Opgave

Wat zijn de schuifspanningen op een aantal andere punten?

Uitwerking

Gevraagd is het schuifspanningsverloop op een negatieve snede in \(\rm{D}\).

Allereerst bepalen we de dwarskracht in doorsnede \(\rm{D}\). Daarvoor bepalen we eerst de oplegreacties:

Fig. 32 Vrijlichaamsschema van de gehele constructie.

\[ \left. \sum T \right| _{\rm{B}} = 0 \to A_{\rm{v}} = 30 \, \rm{kN} \left(↑\right) \]

Daarmee kunnen we de dwarskracht in \(\rm{D}\) bepalen op een negatieve snede:

\[ \sum F_{\rm{v}} = 0 \to V_{\rm{D}} = 30 \, \rm{kN} \left(⎽|⎺\right) \]

Nu kunnen we de schuifspanningen bepalen op karakteristieke afschuivende delen in de doorsnede. Het punt van de doorsnede waarop we de schuifspanning moeten bepalen heeft de coordinaten: \(\rm{y}= 15, \rm{z} = -45\).

Het statisch moment van dit afschuivende deel is:

\[\begin{split} \begin{align*} S_{z}^{\rm{a}} &= A_{\rm{afschuivend} \, \rm{deel}} \, z_{\rm{N.C.} \longleftrightarrow \rm{zwaartepunt} \, \rm{afschuivend} \, \rm{deel} } \\ &= \left( 45 \cdot 62.25 \cdot 2\right) \cdot \left( -45 -\cfrac{45}{2}\right)\\ &= -379687.5 \, \rm{mm^3} \end{align*} \end{split}\]

Het traagheidsmoment van de volledige doorsnede is:

\[\begin{split} \begin{align*} I_{zz} &= \cfrac{b \, h^3}{12} \\ &= \cfrac{125 \cdot 180^3}{12} \\ &= 60750000 \, \rm{mm^4} \end{align*} \end{split}\]

Daarmee kunnen we de maximale schuifspanning bepalen:

\[\begin{split} \begin{align*} \tau_{\rm{max}} &= \cfrac{\left|V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}}\right|}{b \, I_{zz}} \\ &= \cfrac{\left| 30000 \, \cdot -379687.5 \right|}{125 \cdot 60750000} \\ &= 1.5 \, \rm{MPa} \end{align*} \end{split}\]

Aangezien de dwarskracht naar beneden wijst in de negatieve snede is de richting van de schuifspanning ook naar beneden.

---

Ook is het spanningsverloop net links van \(\rm{C}\) gevraagd op een positieve snede.

Door het berekenen van de opleggingsreacties is de dwarskracht in de snede te bepalen:

\[ \sum F_{\rm{v}} = 0 \to V_{\rm{C_{l}}} = 30 \, \rm{kN} \left(⎺|⎽\right) \]

Nu kunnen we de schuifspanningen bepalen op karakteristieke afschuivende delen in de doorsnede. Het punt van de doorsnede waarop we de schuifspanning moeten bepalen heeft de coordinaten: \(\rm{y}= -40, \rm{z} = 81\).

Het statisch moment van dit afschuivende deel is:

\[\begin{split} \begin{align*} S_{z}^{\rm{a}} &= A_{\rm{afschuivend} \, \rm{deel}} \, z_{\rm{N.C.} \longleftrightarrow \rm{zwaartepunt} \, \rm{afschuivend} \, \rm{deel} } \\ &= \left( 9 \cdot 62.25 \cdot 2\right) \cdot \left( 81 +\cfrac{9}{2}\right)\\ &= 96187.5 \, \rm{mm^3} \end{align*} \end{split}\]

Het traagheidsmoment van de volledige doorsnede is:

\[\begin{split} \begin{align*} I_{zz} &= \cfrac{b \, h^3}{12} \\ &= \cfrac{125 \cdot 180^3}{12} \\ &= 60750000 \, \rm{mm^4} \end{align*} \end{split}\]

Daarmee kunnen we de maximale schuifspanning bepalen:

\[\begin{split} \begin{align*} \tau_{\rm{max}} &= \cfrac{\left|V_{z} \, S_{z}^{\rm{a}}\right|}{b \, I_{zz}} \\ &= \cfrac{\left| 30000 \, \cdot 96187.5 \right|}{125 \cdot 60750000} \\ &= 0.38 \, \rm{MPa} \end{align*} \end{split}\]

Aangezien de dwarskracht naar beneden wijst in de positieve doorsnede is de richting van de schuifspanning ook naar beneden.