10 maart: TOZ schuifspanningen

Gegeven is de volgende constructie en doorsnede

De verdeelde belasting en oplegreacties
grijpen aan in het normaalkrachtencentrum.

Fig. 206  

Deze doorsnede moet als dunwandige
doorsnede worden beschouwd.

Fig. 207  

Gevraagd zijn de schuifspanningen ten gevolge van buiging en wringing op een positieve doorsnede in \(\rm{B}\)

Opgave

Wat is de locatie van het normaalkrachtencentrum in \(y\)-richting?

Uitwerking

In de \(y\)-richting kan de locatie gevonden worden ten opzichte van de rechter wand:

Fig. 208  

\[\bar y_{\rm{N.C.}} = \cfrac{S_{\bar y}}{A} = \cfrac{300 \cdot 12 \cdot \cfrac{300}{2}}{300 \cdot 12 + 300 \cdot 12} = 75 \, \rm{mm}\]

Buiging

Opgave

De volgende vraag gaat over de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede \(\rm{B}\) ten gevolge van buiging. Wat is de absolute waarde van het statisch moment van het afschuivende gedeelte voor deze maximale schuifspanning?

Uitwerking

De schuifspanning kan bepaald worden met het afschuivende gedeelte van de helft van de verticale wand:

Fig. 209  

\[ S_z^{\rm{a}} = 150 \cdot 12 \cdot 75 = 135000 \, \rm{mm^3} \]

Opgave

Wat is de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede \(\rm{B}\) ten gevolge van buiging?

Uitwerking

De maximale schuifspanning bevindt zich ter hoogte van het normaalkrachtencentrum in de verticale wanden:

Fig. 210  

Er geldt:

\[I_{zz} = \frac{1}{12} \cdot 300 \cdot 12^3 + \frac{1}{12} \cdot 12 \cdot 300^3 = 27043200 \, \rm{mm}^4\]

en

Fig. 211  

\[\begin{split} \begin{align*} \sum F_{\rm{v}} &= 0 \\ V_{\rm{B}} - 15024 \cdot 3 &=0 \\ V_{\rm{B}} &= 45072 \, \rm{N} \end{align*} \end{split}\]

Dit geeft:

\[\left| \tau \right| = \cfrac{\left| 45072 \cdot 135000 \right|}{12 \cdot 27043200} = 18.75 \, \rm{MPa}\]

Opgave

Wat is/zijn de richting(en) van de maximale schuifspanning ten gevolge van alleen buiging op een positieve doorsnede in \(\rm{B}\)?

Uitwerking

De dwarskracht werkt op een negatieve doorsnede omhoog, dus op een positieve doorsnede omlaag. Voor de eerder afgeleide spanningsverdeling moet de maximale schuifspanning dan ook naar beneden lopen

Wringing

Opgave

Gegeven zijn drie 2D-weergaves van de constructie. Welk model is de juiste om de snedekrachten en oplegreacties te bepalen?

Optie 1

Fig. 212  

Optie 2

Fig. 213  

Optie 3

Fig. 214  

Uitwerking

Het dwarskrachtencentrum ligt op het kruispunt van de wanden (\(y = - \bar y_{\rm{N.C.}}\)). De verdeelde belasting grijpt aan in het normaalkrachtencentrum wat daarom voor wringing van \(y\) naar \(z\) zorgt, dus de dubbele vectorpijl naar rechts.

Optie 2

Fig. 215  

Opgave

Wat is het wringend moment in \(\rm{B}\)?

Uitwerking

Het verdeelde wringend moment is \(15024 \cdot \bar y_{\rm{N.C.}} = 15024 \cdot 0.075 = 1126.8 \, \rm{Nm/m}\)

Dit geeft:

Fig. 216  

\[\begin{split} \begin{align*} \left. \sum T \right|_{\rm{BC}} &= 0 \\ -M_{\rm{t,B}} + 1126.8 \cdot 3 - 604.8 &= 0 \\ M_{\rm{t,B}} &= 2775.6 \, \rm{Nm} \end{align*} \end{split}\]

Opgave

Welk model heb je nodig om de schuifspanningen ten gevolge van wringing te berekenen?

• \(\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot r}}{{{I_p}}} \)

• \(\tau = \cfrac{{{M_t}}}{{2 \cdot {A_m} \cdot t}}\)

• \(\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot {e_m}}}{{\tfrac{1}{2} \cdot \sum\limits_i {\tfrac{1}{3} \cdot {h_i} \cdot t_i^3} }} \)

Uitwerking

Het gaat om een open, dunwandige doorsnede, dus de derde formule is van toepassing: \(\tau = \cfrac{{{M_t} \cdot {e_m}}}{{\tfrac{1}{2} \cdot \sum\limits_i {\tfrac{1}{3} \cdot {h_i} \cdot t_i^3} }} \)

Opgave

Wat is de absolute waarde van de maximale spanning in doorsnede \(\rm{B}\) ten gevolge van wringing?

Uitwerking

De doorsnede is een open, dunwandige doorsnede. De maximale spanning bevindt zich dus aan de buitenrand van de wanden: \(e_m = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \, \rm{mm}\)

Dit geeft:

\[ \tau = \cfrac{2775.6 \cdot 10^3 \cdot 6}{\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot 300 \cdot 12^3 + \frac{1}{3} \cdot 300 \cdot 12^3 \right)} = 96.375 \, \rm{MPa}\]

Opgave

Wat is/zijn de richting(en) van de schuifspanning ten gevolge van alleen wringing op een positieve doorsnede in \(\rm{B}\)?

Uitwerking

Op een negatieve doorsnede werkt een negatief wringend moment, dus van \(y\) naar \(z\). Op een positieve doorsnede werkt dan ook een negatief wringend moment, van \(z\) naar \(y\). Deze werkt op alle uiterste randen van de wanden dus zowel omhoog, omlaag, naar links als naar rechts.