Begeleide oefening 2
Gegeven is de volgende doorsnede:
Fig. 58
Verder is gegeven dat voor een segment van een ring geldt:
\[\begin{split}
\begin{align*}
A &= \alpha \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \\
\bar{x} &= \cfrac{2 \sin \left( \alpha \right)}{ 3 \alpha} \cfrac{r_2^3 - r_1^3}{r_2^2 - r_1^2}
\end{align*}
\end{split}\]
Fig. 59 Zwaartepunt \(\bar{x}\) van een ringsegment met binnenste straal \(r_1\) , buitenste straal \(r_2\) en totale hoek \(2\alpha\) .Auteur: DuckRabbitDuckRabbit | Licentie: CC BY-SA 4.0 | Datum: 2020-12-13 | Auteursrecht: © DuckRabbitDuckRabbit 2020 | Bron: Wikimedia Commons
Opgave
Gegeven zijn een aantal mogelijke punten waarop de schuifspanning kan worden bepaald:
Fig. 60
Je mag er vanuit gaan dat \(R \gg b\) voor alle relevante afschuifvlakken.
Opgave
Gegeven zijn vier mogelijke schuifspanningsverdelingen.
Fig. 61
Opgave
Bepaal de doorsnedegrootheden
Uitwerking
Voor de oppervlakte van de dikwandige ring geldt de volgende formule:
\[\begin{split}
\begin{align*}
A &= \alpha \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \\
&= \pi \cdot \left(300^2 - 150^2\right) \\
&= 67500 \pi \, \rm{mm^2}
\end{align*}
\end{split}\]
Voor het berekenen van het traagheidsmoment van de dikwandige ring geldt het volgende:
\[\begin{split}
\begin{align*}
I &= \cfrac{\pi}{4} \left(r_2^4 - r_1^4 \right) \\
&= \cfrac{\pi}{4} \left(300^4 - 150^4 \right) \\
&= 60 \, \rm{dm^4}
\end{align*}
\end{split}\]
Opgave
Stel je wilt de formule getoond in Fig. 59 \(y,z\) -assenstelsel van de doorsnede.
Hint
Voorbeeld van een hoek van \(-\cfrac{\pi}{4}\) .
Fig. 62
Opgave
Bepaal de maximale schuifspanning
Uitwerking
De maximale schuifspanning bevindt zich ter hoogte van het normaalkrachtcentrum in \(\rm{z} = 0\) .
Het statisch moment ter hoogte van het normaalkrachtcentrum is:
\[\begin{split}
\begin{align*}
S_{z}^{\rm{a}} &= A_{\rm{afschuivend} \, \rm{deel}} \, z_{\rm{N.C.} \longleftrightarrow \rm{zwaartepunt} \, \rm{afschuivend} \, \rm{deel} } \\
&= \frac{1}{2} \cdot A \cdot \cfrac{2 \cdot \sin \left( \alpha \right)}{ 3 \cdot \alpha} \cfrac{r_2^3 - r_1^3}{r_2^2 - r_1^2} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \cdot \cfrac{2 \cdot \sin \left( \frac{1}{2} \cdot \pi \right)}{ \cfrac{3}{2} \pi} \cfrac{r_2^3 - r_1^3}{r_2^2 - r_1^2} \\
&= \frac{3}{2} \cdot \left(r_2^3 - r_1^3 \right) \\
&= \frac{3}{2} \cdot \left(300^3 - 150^3 \right) \\
&= 15.75 \, \rm{dm^3}
\end{align*}
\end{split}\]
De dwarskracht is gegeven, deze is \(2025 \pi \, \rm{kN}\) .
Uiteindelijk kunnen we dan de maximale schuifspanning bepalen:
\[\begin{split}
\begin{align*}
\tau_{\rm{max}} &= \cfrac{V_{z} \cdot S_{z}^{\rm{a}}}{b \cdot I_{zz}} \\
&= \cfrac{2025 \pi \cdot 10^3 \, \cdot 15.75 \cdot 10^6}{\left(2 \cdot 150\right) \cdot 60 \cdot 10^8} \\
&= 56 \, \rm{MPa}
\end{align*}
\end{split}\]
Omdat de dwarskracht naar beneden wijst is de schuifspanning omhoog en is deze dus negatief.
Opgave
Waar is de schuifspanning de helft van de maximale waarde uitgedrukt als hoek van het afschuifvlak \(\varphi\) tov het assenstelsel tussen \(-\cfrac{\pi}{2}\) en \(0\) ten opzichte van de \(y\) -as?
Uitwerking
We willen de hoek \(\alpha\) vinden uit de formule van het statisch moment waarbij de schuifspanning precies gehalveerd is ten opzichte van de maximale schuifspanning.
\[\begin{split}
\begin{align*}
\frac{1}{2} \tau_{\rm{max}} &= \cfrac{V_{z} \cdot S_{z}^{\rm{a}}}{b \cdot I_{zz}} \\
\frac{1}{2} \tau_{\rm{max}} &= \frac{V_{z}}{b \cdot I_{zz}} \cdot \alpha \cdot \left( r_2^2 - r_1^2 \right) \cdot \cfrac{2 \cdot \sin \left( \alpha \right)}{ 3 \cdot \alpha} \cfrac{r_2^3 - r_1^3}{r_2^2 - r_1^2} \\
\\
\frac{56}{2} &= \cfrac{2025 \cdot \pi \cdot 10^3}{\left(2 \cdot 150\right) \cdot 60 \cdot 10^8} \cdot \cfrac{2 \cdot \sin \left( \alpha \right)}{3} \left(300^3 - 150^3 \right) \\
\\
\sin \left( \alpha \right) &= 0.503 \\
\alpha &= \frac{1}{6} \pi
\end{align*}
\end{split}\]
Omdat er wordt gevraagd naar de hoek \(\varphi\) tussen \(-\cfrac{\pi}{2}\) en \(0\) ten opzichte van de \(y\) -as moeten we de hoek alpha nog even omschrijven.
Fig. 63
De hoek \(\varphi\) is dus:
\[
\begin{align*}
\varphi &= - \left(\frac{1}{2} \cdot \pi - \alpha \right)
&= -\frac{1}{3} \cdot \pi
&= -1.05 \, \rm{rad}
\end{align*}
\]
