Lesson Monday September 29th

During today’s lesson you’ll work on an exercise on the topic of the force method for truss structures with and without the need for Williot. Please ask your questions regarding the homework as well!

Attribution

Deze oefening is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CTB2210/2025/krachtenmethode_vakwerk/lesoefeningen.html. Deze oefening is niet vertaald omdat er geen Engelstalige studenten zijn in de klas.

Exercise force method for truss structures without Williot

Gegeven is de volgende constructie:

Fig. 87 Constructie, \(EA = 2.5 \ \rm{MN}, EI = \infty\)

Bepaal de oplegreacties en het snedekrachtenlijnen. Je gaat dit doen voor drie verschillende statisch onbepaalde krachten.

Exercise

Solution

Fig. 88 Er zijn 22 onbekende krachten

Fig. 89 Er zijn 21 evenwichtsvergelijkingen

Dus de constructie is 1ste graads statisch onbepaald

Exercise

Solution

• Weghalen oplegging bij A

• Weghalen oplegging bij B

  • Inderdaad! Als je de hele oplegging weghaalt heb je een mechanisme wat naar links en rechts kan bewegen!

• Weghalen oplegging bij C

• Toevoegen scharnier bij B (in doorgaande liggen DBEG)

• Toevoegen scharnier bij E (in doorgaande liggen DBEG)

  • Inderdaad, als je hier een scharnier toevoegt krijg je een mechanisme waarbij EG om E kan draaien

• Splitsen constructie in pendelstaaf AD

• Splitsen constructie in pendelstaaf CE

Statisch onbepaalde kracht \(B_{\rm{v}}\)

Exercise

Neem als statisch onbepaalde kracht de verticale oplegreactie bij B (positief omhoog).

Solution

De vormveranderingsvoorwaarde is \(w_B = 0\).

Exercise

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(B_{\rm{v}}\).

Solution

Fig. 90 Vrijlichaamsschema \(\rm{DG}\) met \(B_{\rm{v}}\) als statisch onbepaalde.

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. T \right| _ {\rm{E}} = 5 \cdot N_{\rm{AD}} - 2 \cdot B_{\rm{v}} - 3 \cdot26=0 \]

\[ \sum F_ {\rm{v}} = - N_{\rm{AD}} + B_{\rm{v}} + N_{\rm{CE}} -26= 0 \]

\[ w_{\rm{E}} = - \Delta l_{\rm{CE}} = \cfrac{-N_{\rm{CE}} \cdot l_{\rm{CE}}}{EA} \]

\[ w_{\rm{D}} = \Delta l_{\rm{AD}} = \cfrac{-N_{\rm{AD}} \cdot l_{\rm{AD}}}{EA} \]

\[ w_{\rm{B}} = w_{\rm{D}} + \cfrac{3}{5} \cdot \left( w_{\rm{E}} - w_{\rm{D}} \right) = \cfrac{3}{5} \cdot w_{\rm{E}} + \cfrac{2}{5} \cdot w_{\rm{D}} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{AD}} = 0.4 \cdot B_{\rm{v}} + 15.6 \]

\[ N_{\rm{CE}} = - 0.6 \cdot B_{\rm{v}} + 41.6 \]

\[ w_{\rm{E}} = 0.0006 \cdot B_{\rm{v}} - 0.0416 \]

\[ w_{\rm{E}} = 0.0004 \cdot B_{\rm{v}} - 0.0156 \]

\[ w_{\rm{B}} = 0.00052 \cdot B_{\rm{v}} - 0.01872 \]

Exercise

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(B_{\rm{v}}\) op.

Solution

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ B_{\rm{v}} = 36 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]

\[ w_{\rm{E}} = -2 \rm{cm} \]

\[ w_{\rm{D}} = 3 \rm{cm} \]

\[ w_{\rm{B}} = 0 \]

Statisch onbepaald moment \(M_{\rm{B}}\)

Exercise

Neem als statisch onbepaalde kracht het moment \(M_{\rm{B}}\) (positief zorgt voor trek aan de onderkant).

Solution

De vormveranderingsvoorwaarde is:

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^ {\rm{BD}} = \varphi _ {\rm{{B}}} ^ {\rm{BE}} \]

Exercise

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(M_{\rm{B}}\).

Solution

Fig. 91 Constructie vrijgemaakt van pendelstaven met \(M_{\rm{B}}\) als statisch onbepaalde.

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{BD}} = 3 \cdot N_{\rm{AD}} + M_{\rm{B}} =0 \]

\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{BG}} = - M_{\rm{B}} + 2 \cdot N_{\rm{CE}} - 5 \cdot26=0 \]

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{DB}} = \cfrac{w_{\rm{D}}}{3} \]

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BE}} = \cfrac{w_{\rm{E}}}{2} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{AD}} = -0.33 \cdot M_{\rm{B}}\]

\[ N_{\rm{CE}} = 0.5 \cdot M_{\rm{B}} + 65 \]

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{DB}} = -0.00011 \cdot M_{\rm{B}} \]

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BE}} = 0.00025 \cdot M_{\rm{B}} + 0.0325 \]

Exercise

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(M_{\rm{B}}\) op.

Solution

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]

\[ \varphi_{\rm{B}} = 0.01 \rm{rad} \]

\[ M_{\rm{B}} = -90 \rm{kNm} \]

Statisch onbepaalde normaalkracht \(N_{\rm{AD}}\)

Exercise

Neem als statisch onbepaalde kracht de normaalkracht \(N_{\rm{AD}}\) door de pendelstaaf in het scharnier los te maken van de balk.

Solution

De vormveranderingsvoorwaarde is:

\[ w _ {\rm{{D}}}^{\rm{AD}} = w _ {\rm{{D}}}^{\rm{BD}} \]

Exercise

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(N_{\rm{AD}}\).

Solution

Fig. 92 Constructie met \(N_{\rm{AD}}\) als statisch onbepaalde en vrijgemaakt van pendelstaaf CE.

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} = 3 \cdot N_{\rm{AD}} + 2 \cdot N_{\rm{CE}} - 5 \cdot 26 = 0 \]

\[ w_{\rm{E}} = - \Delta l_{\rm{CE}} = \cfrac{-N_{\rm{CE}} \cdot l_{\rm{CE}}}{EA} \]

\[ w_{\rm{D}} ^ {\rm{AD}} = \Delta l_{\rm{AD}} = \cfrac{N_{\rm{AD}} \cdot l_{\rm{AD}}}{EA} \]

\[ w_{\rm{D}} ^ {\rm{BD}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot 3 = - \cfrac{3}{2} w_{\rm{E}} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{CE}} = - 1.5 \cdot N_{\rm{AD}} + 65 \]

\[ w_{\rm{E}} = 0.0015 \cdot N_{\rm{AD}} -0.065 \]

\[ w_{\rm{D}} ^{\rm{AD}} = 0.001 \cdot N_{\rm{AD}} \]

\[ w_{\rm{D}} ^{\rm{BD}} = -0.00225 \cdot N_{\rm{AD}} + 0.0975 \]

Exercise

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(N_{\rm{AD}}\) op.

Solution

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]

\[ w_{\rm{E}} = -2 \rm{cm} \]

\[ w_{\rm{D}} = 3 \rm{cm} \]

Exercise force method for truss structures with Williot

Given the following structure.

1. Find the normal force in element \(\text{BC}\) and \(\text{BE}\)

2. Find the displacement of joint \(\text{E}\)

Solution assignment 1

\(N_\text{BE} \approx 3.074 \text{ kN}\)

\(N_\text{BC} \approx 2.273 \text{ kN}\)

Solution assignment 2

\(w_\text{E} \approx 6.147 \text{ mm}\) ↓