Begeleide oefening

Begeleide oefening#

Gegeven is de volgende constructie:

../_images/structure7.svg

Fig. 75 Constructie, \(EA = 2.5 \ \rm{MN}, EI = \infty\)#

Bepaal de oplegreacties en het snedekrachtenlijnen. Je gaat dit doen voor drie verschillende statisch onbepaalde krachten.

Opgave

Oplossing

../_images/onbekenden2.svg

Fig. 76 Er zijn 22 onbekende krachten#

../_images/vergelijkingen2.svg

Fig. 77 Er zijn 21 evenwichtsvergelijkingen#

Dus de constructie is 1ste graads statisch onbepaald

Opgave

Oplossing

  • Weghalen oplegging bij A

  • Weghalen oplegging bij B

    • Inderdaad! Als je de hele oplegging weghaalt heb je een mechanisme wat naar links en rechts kan bewegen!

  • Weghalen oplegging bij C

  • Toevoegen scharnier bij B (in doorgaande liggen DBEG)

  • Toevoegen scharnier bij E (in doorgaande liggen DBEG)

    • Inderdaad, als je hier een scharnier toevoegt krijg je een mechanisme waarbij EG om E kan draaien

  • Splitsen constructie in pendelstaaf AD

  • Splitsen constructie in pendelstaaf CE

Statisch onbepaalde kracht \(B_{\rm{v}}\)#

Opgave

Neem als statisch onbepaalde kracht de verticale oplegreactie bij B (positief omhoog).

Oplossing

De vormveranderingsvoorwaarde is \(w_B = 0\).

Opgave

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(B_{\rm{v}}\).

Oplossing

../_images/Vrijlichaamsschema1.svg

Fig. 78 Vrijlichaamsschema \(\rm{DG}\) met \(B_{\rm{v}}\) als statisch onbepaalde.#

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. T \right| _ {\rm{E}} = 5 \cdot N_{\rm{AD}} - 2 \cdot B_{\rm{v}} - 3 \cdot26=0 \]
\[ \sum F_ {\rm{v}} = - N_{\rm{AD}} + B_{\rm{v}} + N_{\rm{CE}} -26= 0 \]
\[ w_{\rm{E}} = - \Delta l_{\rm{CE}} = \cfrac{-N_{\rm{CE}} \cdot l_{\rm{CE}}}{EA} \]
\[ w_{\rm{D}} = \Delta l_{\rm{AD}} = \cfrac{-N_{\rm{AD}} \cdot l_{\rm{AD}}}{EA} \]
\[ w_{\rm{B}} = w_{\rm{D}} + \cfrac{3}{5} \cdot \left( w_{\rm{E}} - w_{\rm{D}} \right) = \cfrac{3}{5} \cdot w_{\rm{E}} + \cfrac{2}{5} \cdot w_{\rm{D}} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{AD}} = 0.4 \cdot B_{\rm{v}} + 15.6 \]
\[ N_{\rm{CE}} = - 0.6 \cdot B_{\rm{v}} + 41.6 \]
\[ w_{\rm{E}} = 0.0006 \cdot B_{\rm{v}} - 0.0416 \]
\[ w_{\rm{E}} = 0.0004 \cdot B_{\rm{v}} - 0.0156 \]
\[ w_{\rm{B}} = 0.00052 \cdot B_{\rm{v}} - 0.01872 \]

Opgave

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(B_{\rm{v}}\) op.

Oplossing

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ B_{\rm{v}} = 36 \rm{kN} \]
\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]
\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]
\[ w_{\rm{E}} = -2 \rm{cm} \]
\[ w_{\rm{D}} = 3 \rm{cm} \]
\[ w_{\rm{B}} = 0 \]

Statisch onbepaald moment \(M_{\rm{B}}\)#

Opgave

Neem als statisch onbepaalde kracht het moment \(M_{\rm{B}}\) (positief zorgt voor trek aan de onderkant).

Oplossing

De vormveranderingsvoorwaarde is:

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^ {\rm{BD}} = \varphi _ {\rm{{B}}} ^ {\rm{BE}} \]

Opgave

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(M_{\rm{B}}\).

Oplossing

../_images/Vrijlichaamsschema2.svg

Fig. 79 Constructie vrijgemaakt van pendelstaven met \(M_{\rm{B}}\) als statisch onbepaalde.#

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{BD}} = 3 \cdot N_{\rm{AD}} + M_{\rm{B}} =0 \]
\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{BG}} = - M_{\rm{B}} + 2 \cdot N_{\rm{CE}} - 5 \cdot26=0 \]
\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{DB}} = \cfrac{w_{\rm{D}}}{3} \]
\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BE}} = \cfrac{w_{\rm{E}}}{2} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{AD}} = -0.33 \cdot M_{\rm{B}}\]
\[ N_{\rm{CE}} = 0.5 \cdot M_{\rm{B}} + 65 \]
\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{DB}} = -0.00011 \cdot M_{\rm{B}} \]
\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BE}} = 0.00025 \cdot M_{\rm{B}} + 0.0325 \]

Opgave

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(M_{\rm{B}}\) op.

Oplossing

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]
\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]
\[ \varphi_{\rm{B}} = 0.01 \rm{rad} \]
\[ M_{\rm{B}} = -90 \rm{kNm} \]

Statisch onbepaalde normaalkracht \(N_{\rm{AD}}\)#

Opgave

Neem als statisch onbepaalde kracht de normaalkracht \(N_{\rm{AD}}\) door de pendelstaaf in het scharnier los te maken van de balk.

Oplossing

De vormveranderingsvoorwaarde is:

\[ w _ {\rm{{D}}}^{\rm{AD}} = w _ {\rm{{D}}}^{\rm{BD}} \]

Opgave

Bepaal achtereenvolgens de normaalkrachten en verplaatsingen als functie van \(N_{\rm{AD}}\).

Oplossing

../_images/Vrijlichaamsschema3.svg

Fig. 80 Constructie met \(N_{\rm{AD}}\) als statisch onbepaalde en vrijgemaakt van pendelstaaf CE.#

De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. M \right| _ {\rm{B}} = 3 \cdot N_{\rm{AD}} + 2 \cdot N_{\rm{CE}} - 5 \cdot 26 = 0 \]
\[ w_{\rm{E}} = - \Delta l_{\rm{CE}} = \cfrac{-N_{\rm{CE}} \cdot l_{\rm{CE}}}{EA} \]
\[ w_{\rm{D}} ^ {\rm{AD}} = \Delta l_{\rm{AD}} = \cfrac{N_{\rm{AD}} \cdot l_{\rm{AD}}}{EA} \]
\[ w_{\rm{D}} ^ {\rm{BD}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot 3 = - \cfrac{3}{2} w_{\rm{E}} \]

Hieruit volgt:

\[ N_{\rm{CE}} = - 1.5 \cdot N_{\rm{AD}} + 65 \]
\[ w_{\rm{E}} = 0.0015 \cdot N_{\rm{AD}} -0.065 \]
\[ w_{\rm{D}} ^{\rm{AD}} = 0.001 \cdot N_{\rm{AD}} \]
\[ w_{\rm{D}} ^{\rm{BD}} = -0.00225 \cdot N_{\rm{AD}} + 0.0975 \]

Opgave

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de statisch onbepaalde kracht \(N_{\rm{AD}}\) op.

Oplossing

Oplossen van de vergelijkingen geeft:

\[ N_{\rm{AD}} = 30 \rm{kN} \]
\[ N_{\rm{CE}} = 20 \rm{kN} \]
\[ w_{\rm{E}} = -2 \rm{cm} \]
\[ w_{\rm{D}} = 3 \rm{cm} \]
Inhoud