Begeleide oefening 2

Begeleide oefening 2#

Gegeven is de volgende constructie:

../_images/structure6.svg

Fig. 125 Constructie, \(EI = \cfrac{1000}{3} \ \rm{kNm^2}, EA >> EI \)#

Opgave

Oplossing

../_images/Onbekenden.svg

Fig. 126 Er zijn 25 onbekende krachten#

../_images/Vergelijkingen.svg

Fig. 127 Er zijn 22 evenwichtsvergelijkingen#

Dus de constructie is 3de graads statisch onbepaald.

Opgave

Er zijn een aantal opties gegeven voor mogelijke statisch bepaalde systemen. De vormveranderingsvoorwaarden zijn niet getoond

Oplossing

../_images/Oplosmethode_optie1.svg

Fig. 128 Juist#

../_images/Oplosmethode_optie2.svg

Fig. 129 Onjuist#

../_images/Oplosmethode_optie3.svg

Fig. 130 Juist#

../_images/Oplosmethode_optie4.svg

Fig. 131 Juist#

../_images/Oplosmethode_optie5.svg

Fig. 132 Onjuist#

Opgave

Er wordt gekozen voor het volgende statisch bepaalde systeem inclusief vormveranderingsvoorwaarden:

../_images/structure21.svg

Fig. 133 Statisch bepaald systeem, \(EI = \cfrac{1000}{3} \ \rm{kNm^2}, EA >> EI \)#

Er is hier wederom een scharnier in een knoop geplaatst zoals ook in het statisch bepaalde systeem van oefening 1. Bepaal de rotaties als functie van \(M_{\rm{D}}\), \(M_{\rm{B}}^{\rm{BD}}\), \(M_{\rm{B}}^{\rm{AB}}\) en \(M_{\rm{B}}^{\rm{BC}}\).

Oplossing

De uitdrukkingen voor de hoekverdraaiingen worden gevonden met behulp van de vergeet-mij-nietjes voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel en door een verdeelde belasting, de positieve richtingen worden genomen zoals in de figuur aangegeven.

\[ \varphi_{\rm{D}}^{\rm{AD}} \left( M_{\rm{D}}\right) = \cfrac{M_{\rm{D}} \cdot 6}{3 \cdot \cfrac{1000}{3}} = 0.006 \cdot M_{\rm{D}} \]
\[ \varphi_{\rm{D}}^{\rm{BD}} \left( M_{\rm{D}}, M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \right) = - \cfrac{M_{\rm{D}} \cdot 8}{3 \cdot \cfrac{1000}{3}} - \cfrac{M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \cdot 8}{6 \cdot \cfrac{1000}{3}} = -0.008 \cdot M_{\rm{D}} -0.004 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \]
\[ \varphi_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \left( M_{\rm{D}}, M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \right) = - \cfrac{M_{\rm{D}} \cdot 8}{6 \cdot \cfrac{1000}{3}} - \cfrac{M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \cdot 8}{3 \cdot \cfrac{1000}{3}} = -0.004 \cdot M_{\rm{D}} -0.008 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \]
\[ \varphi_{\rm{B}}^{\rm{AB}} \left( M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} \right) = \cfrac{M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} \cdot 10}{3 \cdot \cfrac{1000}{3}} = 0.01 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} \]
\[ \varphi_{\rm{B}}^{\rm{BC}} \left( M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} \right) = \cfrac{M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} \cdot 6}{3 \cdot \cfrac{1000}{3}} + \cfrac{11 \cdot 6^3}{24 \cdot \cfrac{1000}{3}} = 0.006 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} + 0.297 \]

Opgave

Er mist nog een vergelijking om de vier onbekenden (waarvan 3 statisch onbepaalden) op te lossen. Wat is die vergelijking?

Oplossing

\(M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} - M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} - M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} = 0\)

Opgave

Los met de vormveranderingsvoorwaarden en evenwichtsvergelijking de onbekenden \(M_{\rm{D}}\), \(M_{\rm{B}}^{\rm{BD}}\), \(M_{\rm{B}}^{\rm{AB}}\) en \(M_{\rm{B}}^{\rm{BC}}\) op.

Oplossing

Er zijn 4 onbekenden en 4 vergelijkingen. De vergelijkingen bestaan uit de momentenevenwichtsvergelijking uit de vorige deelvraag en de onderstaande vormveranderingsvoorwaarden:

\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BC}} = \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{AB}} \rightarrow 0.01 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} = 0.006 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} + 0.297 \]
\[ \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{AB}} = \varphi _ {\rm{B}} ^{\rm{BD}} \rightarrow 0.01 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} = -0.004 \cdot M_{\rm{D}} -0.008 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \]
\[ \varphi _ {\rm{D}} ^{\rm{AD}} = \varphi _ {\rm{D}} ^{\rm{BD}} \rightarrow 0.006 \cdot M_{\rm{D}} = -0.008 \cdot M_{\rm{D}} -0.004 \cdot M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} \]

Hieruit volgt:

\[ M_{\rm{D}} = 5 \rm{kNm} \]
\[ M_{\rm{B}}^{\rm{BD}} = -17.5 \rm{kNm} \]
\[ M_{\rm{B}}^{\rm{AB}} = 12 \rm{kNm} \]
\[ M_{\rm{B}}^{\rm{BC}} = -29.5 \rm{kNm} \]

Opgave

Los de volledige krachtsverdeling op.

Oplossing

\[ M_{\rm{A}} = 0 \rm{kNm} \]
\[ M_{\rm{halverwege} \ \rm{BC}} = 34.75 \rm{kNm} (◡) \]
\[ N_{\rm{BD}} \approx 0.83 \rm{kN} \]
\[ B_{\rm{v}} \approx 41.60 \rm{kN} \]