Bronvermelding

Deze pagina is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CT1000/2025/week_8/session_1/intro.html

Begeleide oefening 1: Stijfheidsinvloeden met verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden

Gegeven is de volgende constructie:

Fig. 214 Constructie

Vermenigvuldigingsfactor

Voor de toepassing van de vermenigvuldigingsfactor gebruiken we de verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden, andere opties zijn ook mogelijk:

Fig. 215 Constructie met vrijheidsgraad \(\varphi_C\) aangegeven

Opgave

Gegeven zijn 6 vergeet-me-nietjes:

Fig. 216 Vergeet-me-nietjes

Oplossing

Vergeet-me-nietje 3 en 4 zijn van toepassing op \(\rm{AC}\) en \(\rm{BC}\) aangezien \(\rm{E}\) op z’n plek blijft (alleen roteert) en dus kan worden gezien als oplegging.

Opgave

Los \(M_{\rm{C}}^{\rm{AC}}\) en \(M_{\rm{C}}^{\rm{BC}}\) op als functie \(\varphi_{\rm{C}}\) en \(n\).

Oplossing

Voor \(\rm{AC}\) kan een statisch bepaald vergeet-me-nietje worden toegepast

\[\varphi_{\rm{C}} = \cfrac{M_{\rm{AC}} \cdot 4}{3 \cdot n \cdot 320000} \to M_{\rm{AC}} = 240000 \cdot n \cdot \varphi_{\rm{C}}\]

Voor \(\rm{BC}\) kan een statisch onbepaald vergeet-me-nietje worden toegepast:

\[\varphi_{\rm{C}} = \cfrac{M_{\rm{AC}} \cdot 5}{4 \cdot 320000} \to M_{\rm{AC}} = 256000 \varphi_{\rm{C}}\]

Opgave

Los \(\varphi_{\rm{C}}\) op als functie van \(n\).

Oplossing

\(\varphi_{\rm{C}}\) kan bepaald worden aan de hand van het vrijlichaamsschema van \(\rm{DC}\):

\[ \sum \left. T \right|_{\rm{C}}^{\rm{DC}} = 0 \to \varphi_{\rm{C}} = \cfrac{279}{10000 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} \]

Opgave

Los \(w_{\rm{D}}\) op als functie van \(n\).

Oplossing

De verplaatsing van \(\rm{D}\) kan worden bepaald door de rotatie van \(\varphi_{\rm{C}}\) over ligger \(\rm{CD}\) te verlengen en de verticale verplaatsing door de belasting erbij op te tellen:

\[\begin{split} \begin{align*} w_{\rm{D}} &= \varphi_{\rm{C}} \cdot 4 + \cfrac{111.6 \cdot 4^3}{3 \cdot 320000} \\ w_{\rm{D}} & = \cfrac{93}{12500} + \cfrac{279}{2500 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} \\ w_{\rm{D}} & = 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \end{align*} \end{split}\]

Opgave

Teken \(w_{\rm{D}}\) als functie van \(n\) voor \(n\) variërend van 0 tot \(\infty\).

Oplossing

Extreme gevallen

Voor het analyseren van de extreme gevallen analyseren we eerst de constructie zonder de methode voor de statisch onbepaaldheid direct toe te passen.

Opgave

Gegeven zijn 6 varianten van de constructie.

Oplossing

Voor \(n \to \infty\), is er geen rotatie toegestaan in \(\rm{C}\), wat de constructie reduceert tot een statisch bepaalde structuur:

Voor \(n \to 0\), is er geen rotatiestijfheid in \(\rm{AC}\), wat de constructie reduceert tot:

Opgave

Bepaal \(w_{\rm{D}}\) voor de extreme gevallen.

Oplossing

Met een vergeet-me-nietje geeft \(n \to \infty\) dit:

\[\begin{split} \begin{align*} w_{\rm{D}} &= \cfrac{111.6 \cdot 4^3}{3 \cdot 320000} \\ w_{\rm{D}} & = \cfrac{279}{2500 \cdot \left( 15 \cdot n + 16 \right)} \\ w_{\rm{D}} & = 0.00744 \end{align*} \end{split}\]

Dit kan ook worden afgeleid door de limiet te nemen van de eerder gevonden \(w_{\rm{D}}\) als functie van \(n\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}} &= \lim_{n \to \infty} \left( 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \right) \\ \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}}&= 0.00744 + 0 \\ \lim_{n \to \infty} w_{\rm{D}}&= 0.00744 \end{align*} \end{split}\]

Voor \(n \to 0\), dit is een statisch bepaalde structuur welke kan worden opgelost met een methode naar keuze. Dit leidt tot:

\[ w_{\rm{D}} = 0.0144 \]

Dit kan ook worden afgeleid door de limiet te nemen van de eerder gevonden \(w_{\rm{D}}\) als functie van \(n\):

\[\begin{split} \begin{align*} \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}} &= \lim_{n \to 0} \left( 0.00744 + \cfrac{0.1116}{15 \cdot n + 16} \right) \\ \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}}&= 0.00744 + \cfrac{0.1116}{16} \\ \lim_{n \to 0} w_{\rm{D}}&= 0.0144 \end{align*} \end{split}\]