Instructie#
De krachtenmethode hebben we eerder al behandeld voor simpele constructies. We behandelen de toepassing op complexere vakwerkconstructies met het volgende voorbeeld. Dit voorbeeld bevat een Williot diagram om de verplaatsingen te berekenen.
Voorbeeld
Fig. 81 Voorbeeldconstructie. Hoewel dit geen vakwerkconstructie is, worden vervorming enkel veroorzaakt door extensie, niet door buiging. \(EI = EA_{\rm{ADE}} = \infty, 0 < EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}} < \infty\)#
Bepaal de graad van statische bepaaldheid.
Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij pendelstaven of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde krachten en vervormingsvoorwaarden toe voor elke oplegging die je hebt weggenomen, aansluiting van de pendelstaven die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!
Voorbeeld
Er zijn hier veel opties, waarvan er enkele hieronder worden getoond:
De laatste optie wordt gekozen.
Los de verplaatsing op in termen van de onbekende onbepaalde krachten zoals je normaal zou doen voor een statisch bepaalde constructie.
Voorbeeld
We hebben de volgende statisch bepaalde constructie gekozen met vervormingsvoorwaarde \(w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 0\):
Fig. 84 De statisch bepaalde constructie met vervormingsvoorwaarde, \(EI = EA_{\rm{ADE}} = \infty, 0 < EA_{\rm{CD}}, EA_{\rm{BE}} < \infty\)#
Omdat \(\rm{AE}\) oneindig stijf is, zullen alle vervormingen het gevolg zijn van staven die uitrekken/samendrukken. Om dit te berekenen, kunnen eerst de normaalkrachten worden geëvalueerd als functie van \(B_{\rm{v}}\) met behulp van bijvoorbeeld een momentenevenwicht rond \(\rm{A}\) voor het element \(\text{ADE}\):
\(N_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = 210 - 2.5 B_{\rm{v}}\)
\(N_{\rm{BE}} \left( B_{\rm{v}} \right) = - B_{\rm{v}}\)
Dit leidt tot de volgende uitrekking van de elementen, met behulp van \(\Delta L = \cfrac{N \ L}{EA}\):
\(\Delta L_{\rm{CD}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1400}{EA} - \cfrac{50 B_{\rm{v}}}{3 EA}\)
\(\Delta L_{\rm{BE}}\left( B_{\rm{v}} \right) = -\cfrac{5 B_{\rm{v}}}{EA}\)
Dit leidt tot de volgende verplaatsing, met behulp van een Williot diagram:
Fig. 85 De verplaatsing van \(\rm{D}\) is \(\cfrac{5}{4} \Delta L_{\rm{CD}} \)#
\(w_{\rm{D}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1750}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{6 EA} \left( \downarrow \right) \)
\(w_{\rm{E}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{125 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) \)
\(w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) = \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} \left( \downarrow \right) \)
Gebruik je vormveranderingsvoorwaarden om de statisch onbepaalde krachten op te lossen
Voorbeeld
\[\begin{split} \begin{align*} w_{\rm{B}}\left( B_{\rm{v}} \right) &= 0 \\ \cfrac{3500}{EA} - \cfrac{140 B_{\rm{v}}}{3 EA} &= 0 \\ B_{\rm{v}} &= 75 \ \rm{kN} \end{align*} \end{split}\]Dit leidt tot de volgende andere resultaten:
\(N_{\rm{CD}} = 22.5 \ \rm{kN}\)
\(N_{\rm{BE}} -75 \ \rm{kN} \)
\(w_{\rm{D}} = \cfrac{375}{2EA} \left( \downarrow \right) \)
\(w_{\rm{E}} = \cfrac{375}{EA} \left( \downarrow \right) \)
Meer voorbeelden#
In hoofdstuk 2.1 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007) wordt de krachtenmethode in het algemeen behandeld. Specifiek voor vakwerkconstructies waarbij ook williot nodig is wordt behandeld in hoofdstuk 2.2.10.
Instructies in collegevorm#
Dit onderwerp is in les 5 gepresenteerd in collegevorm tot 0:42:50.
Oefeningen#
Opgaves 2.40 en 2.41, in hoofdstuk 2.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Antwoorden zijn hier beschikbaar.