Instructie#
In de les van 22 september: Verplaatsingenmethode met statisch onbepaalde verplaatsingen heb je de verplaatsingenmethode leren toepassen op zeer vergelijkbare wijze als de krachtenmethode. Echter, er is nog een andere verplaatsingenmethode. Een groot nadeel van de krachten- en verplaatsingenmethode van de vorige les is namelijk dat je de statisch onbepaalde constructie moet aanpassen tot een statisch bepaalde constructie. Dat kan soms lastig zijn. Bij de verplaatsingenmethode die we vandaag behandelen is dat niet nodig. In plaats van de constructie op te lossen voor een statisch onbepaalde kracht of verplaatsingen, lossen we de constructie op voor één of meerdere vrijheidsgraden die de vervorming van de constructie bepalen.
Algoritme (Verplaatsingenmethode)
Kies één of meerdere vrijheidsgraden die de vervorming van de constructie bepalen en splits de constructie in of rondom die plek(ken).
Bereken de krachten in de splitsing in termen van de onbekende vrijheidsgraden. Als je meerdere vrijheidsgraden hebt gedefinieerd, bereken dan de invloed van elke vrijheidsgraad los waarbij de andere vrijheidsgraden aan nul worden gesteld. Maak daarbij gebruik van de uitgebreide vergeet-me-nietjes in het geval van buiging.
Gebruik evenwichtsvoorwaarden om de vrijheidsgraden op te lossen.
De toepassing van deze verplaatsingenmethode op een statisch onbepaalde constructie wordt in een voorbeeld getoond.
Voorbeeld
Fig. 176 Voorbeeldconstructie, \(EI_{\rm{AB}} = 1.5 \ \rm{MNm}^2, EI_{\rm{BC}} = 3 \ \rm{MNm}^2\)#
Kies één of meerdere vrijheidsgraden die de vervorming van de constructie bepalen en splits de constructie in of rondom die plek(ken).
Voorbeeld
Fig. 177 De verplaatsing en rotatie van B wordt gekozen als vrijheidsgraad.#
Met de verplaatsing en rotatie van B kan de verplaatsing van de hele constructie worden bepaald.
Bereken de krachten in de splitsing in termen van de onbekende vrijheidsgraden. Als je meerdere vrijheidsgraden hebt gedefinieerd, bereken dan de invloed van elke vrijheidsgraad los waarbij de andere vrijheidsgraden aan nul worden gesteld. Maak daarbij gebruik van de uitgebreide vergeet-me-nietjes in het geval van buiging.
Voorbeeld
De constructie wordt gesplitst in \(\rm{B}\). Daarvoor kunnen we het vrijlichaamsschema van beide delen en knoop \(\rm{B}\) tekenen.
Fig. 178 Gesplitste constructie, \(EI_{\rm{AB}} = 1.5 \ \rm{MNm^2}, EI_{\rm{BC}} = 3 \ \rm{MNm^2}\)#
Voor beide delen kunnen we nu met behulp van vergeet-me-nietjes de snedekrachten in \(\rm{B}\) bepalen als functie van \(w_{\rm{B}}\) en \(\varphi_{\rm{B}}\). in het stukje \(\rm{BC}\) heeft de puntlast van \(44.8 \ \rm{kN}\) ook nog invloed.
Allereerst wordt de invloed van de rotatie \(\varphi_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{AB}\) bekeken. Daarvoor geldt het volgende vergeet-me-nietje, leidend tot snedekrachten in de getoonde richting:
Fig. 179 Boven het vergeet-me-nietje waarmee we de snedekrachten ten gevolge van \(\varphi_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{AB}\) kunnen berekenen. Komt overeen met vergeet-me-nietje (7) van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Daaronder het gesplitste gedeelte \(\rm{AB}\) met de snedekrachten in de optredende richting#
Hieruit volgt:
\(M_{\rm{B,1}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{4EI}{L_{\rm{AB}}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{4 \cdot 1500}{3} = 2000 \varphi_{\rm{B}}\)
\(V_{\rm{B,1}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{6EI}{L_{\rm{AB}}^2} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{6 \cdot 1500}{3^2} = 1000 \varphi_{\rm{B}}\)
Vervolgens wordt de invloed van de verplaatsing \(w_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{AB}\) bekeken. Daarvoor geldt het volgende vergeet-me-nietje, leidend tot snedekrachten in de getoonde richting:
Fig. 180 Boven het vergeet-me-nietje waarmee we de snedekrachten ten gevolge van \(w_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{AB}\) kunnen berekenen. Komt overeen met vergeet-me-nietje (g) van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Daaronder het gesplitste gedeelte \(\rm{AB}\) met de snedekrachten in de optredende richting#
Hieruit volgt:
\(M_{\rm{B,2}} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{6EI}{L_{\rm{AB}}^2} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{6 \cdot 1500}{3^2} = 1000 w_{\rm{B}}\)
\(V_{\rm{B,2}} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{12EI}{L_{\rm{AB}}^3} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{12 \cdot 1500}{3^3} = \cfrac{2000}{3} w_{\rm{B}}\)
Nu kan ook het rechtergedeelte worden bekeken. Te beginnen met de invloed van de rotatie \(\varphi_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{BC}\). Daarvoor geldt het volgende vergeet-me-nietje, leidend tot snedekrachten in de getoonde richting:
Fig. 181 Boven het vergeet-me-nietje waarmee we de snedekrachten ten gevolge van \(\varphi_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{BC}\) kunnen berekenen. Komt overeen met het horizontaal gespiegelde vergeet-me-nietje (4) van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Daaronder het gesplitste gedeelte \(\rm{BC}\) met de snedekrachten in de optredende richting. Daarvoor is het vergeet-me-nietje in zowel horizontale als verticale richting gespiegeld.#
Hieruit volgt:
\(M_{\rm{B,3}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3EI}{L_{\rm{BC}}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3 \cdot 3000}{3} = 3000 \varphi_{\rm{B}}\)
\(V_{\rm{B,3}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3 EI}{L_{\rm{BC}}^2} = \varphi_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3 \cdot 3000}{3^2} = 1000 \varphi_{\rm{B}}\)
Vervolgens wordt de invloed van de verplaatsing \(w_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{BC}\) bekeken. Daarvoor geldt het volgende vergeet-me-nietje, leidend tot snedekrachten in de getoonde richting:
Fig. 182 Boven het vergeet-me-nietje waarmee we de snedekrachten ten gevolge van \(w_{\rm{B}}\) op gedeelte \(\rm{BC}\) kunnen berekenen. Komt overeen met het horizontaal gespiegelde vergeet-me-nietje (f) van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Daaronder het gesplitste gedeelte \(\rm{BC}\) met de snedekrachten in de optredende richting. Daarvoor is het vergeet-me-nietje in verticale richting gespiegeld en is de inklemming aan de linkerkant verplaatst in plaats van de roloplegging aan de rechterkant.#
Hieruit volgt:
\(M_{\rm{B,4}} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3EI}{L_{\rm{BC}}^2} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3 \cdot 3000}{3^2} = 1000 w_{\rm{B}}\)
\(V_{\rm{B,4}} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{6EI}{L_{\rm{BC}}^3} = w_{\rm{B}} \cdot \cfrac{3 \cdot 3000}{3^3} = \cfrac{1000}{3} w_{\rm{B}}\)
Tot slot moet ook nog de invloed van de puntlast van \(44.8 \ \rm{kN}\) op gedeelte \(\rm{BC}\) worden meegenomen. Daarvoor geldt het volgende vergeet-me-nietje, leidend tot snedekrachten in de getoonde richting:
Fig. 183 Boven het vergeet-me-nietje waarmee we de snedekrachten ten gevolge van de puntlast van \(44.8 \ \rm{kN}\) op gedeelte \(\rm{BC}\) kunnen berekenen. Komt overeen met het horizontaal gespiegelde vergeet-me-nietje (8) van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Daaronder het gesplitste gedeelte \(\rm{BC}\) met de snedekrachten in de optredende richting.#
Hieruit volgt:
\(M_{\rm{B,5}} = \cfrac{3}{16} {F} L_{\rm{BC}} = \cfrac{3}{16} \cdot 44.8 \cdot 3 = 25.2 \ \rm{kNm}\)
\(V_{\rm{B,5}} = \cfrac{11}{16} {F} = \cfrac{11}{16} \cdot 44.8 = 30.8 \ \rm{kN}\)
Gebruik evenwichtsvoorwaarden om de vrijheidsgraden op te lossen.
Voorbeeld
Nu alle snedekrachten in \(\rm{B}\) bekend zijn, kunnen we de evenwichtsvoorwaarden voor knoop \(\rm{B}\) opstellen:
Fig. 184 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{B}\) met alle snedekrachten.#
Dit geeft:
\[\begin{split} \begin{aligned} \Sigma M &= 0 \\ -M_{\rm{B,1}} - M_{\rm{B,2}} - M_{\rm{B,3}} + M_{\rm{B,4}} - M_{\rm{B,5}} &= 0 \\ 5000 \varphi_{\rm{B}} + 25.2 &= 0 \\ \varphi_{\rm{B}} &= -0.00504 \ \rm{rad} \end{aligned} \end{split}\]en:
\[\begin{split} \begin{aligned} \Sigma F_{\rm{v}} &= 0 \\ -V_{\rm{B,1}} - V_{\rm{B,2}} + V_{\rm{B,3}} + V_{\rm{B,4}} - V_{\rm{B,5}} &= 0 \\ 1000 w_{\rm{B}} - 30.8 &= 0 \\ w_{\rm{B}} &= 0.0308 \ \rm{m} = 30.8 \ \rm{mm} \end{aligned} \end{split}\]
Meer voorbeelden#
In hoofdstuk 4.1 en 4.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007) wordt deze verplaatsingenmethode behandeld.
Instructies in collegevorm#
Dit onderwerp is les 11 gepresenteerd in collegevorm tot 0:47:56.
Oefeningen#
Opgaves 4.4 - 4.33, 4.35, 4.36 in hoofdstuk 4.5 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007). Dit zijn dezelfde opgaves als voor 22 september: Verplaatsingenmethode met statisch onbepaalde verplaatsingen, maar de aanpak is nu anders. Er zijn helaas geen antwoorden beschikbaar. Je kan de constructies doorrekenen met MatrixFrame om je antwoorden te controleren.