Instructie#
De krachtenmethode hebben we eerder al behandeld voor onder andere constructies belast op rek en balken. Voor raamwerken is de procedure niet anders, behalve dat we het gedrag van rek en buiging niet altijd kunnen splitsen.
We behandelen de toepassing op raamwerkconstructies met het volgende voorbeeld.
Voorbeeld
Fig. 115 Voorbeeldconstructie, \(EI = 5 \ \rm{MNm^2}, EA >> EI\)#
Bepaal de graad van statische bepaaldheid.
Voorbeeld
Voor ons voorbeeld zijn we geïnteresseerd in de verdeling van inwendige krachten, dus moeten we de graad van inwendige statische onbepaaldheid evalueren.
Fig. 116 Er zijn 21 onbekende krachten.#
Fig. 117 Er zijn 19 evenwichtsvergelijkingen#
Deze constructie is dus 2e orde inwendig statisch onbepaald.
Transformeer de constructie in een statisch bepaald systeem door opleggingen weg te nemen, de constructie te splitsen bij een pendelstaaf, of scharnieren toe te voegen: voeg onbekende statisch onbepaalde krachten en vervormingsvoorwaardes toe voor elke opleggging die je hebt weggenomen en scharnieren die je hebt toegevoegd. Let op dat je de constructie niet transformeert tot een (gedeeltelijk) mechanisme!
Voorbeeld
Er zijn veel opties, waarvan een aantal mogelijke opties:
De derde optie wordt gekozen.
Los de verplaatsing op in termen van de onbekende onbepaalde krachten zoals je normaal zou doen voor een statisch bepaalde constructie.
Voorbeeld
We hebben de volgende statisch bepaalde constructie gekozen met vormveranderingsvoorwaardes \(w_{\rm{A,v}}\left( A_{\rm{v}}, A_{\rm{h}} \right) = 0 \) en \(w_{\rm{A,h}}\left( A_{\rm{v}}, A_{\rm{h}} \right) = 0 \):
Fig. 118 De statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde, \(EI = 5 \ \rm{MNm^2}, EA >> EI\)#
De krachtsverdeling kan worden gevonden met evenwicht:
\(M_{\rm{C}} = 90 \ \rm{kNm}\) (◠/ᑐ)
\(M_{\rm{B}} = 6A_{\rm{v}}\) (◡/ᑐ)
Met behulp van de vergeet-mij-nietjes kunnen de rotaties nu worden geëvalueerd:
\(\varphi_{\rm{B}} = \cfrac{90 \cdot 3}{6 \cdot 5000} + \cfrac{6A_{\rm{v}} \cdot 3}{3 \cdot 5000} = 0.0012 A_{\rm{v}} + 0.009\) (↻)
\(w_{\rm{A}} = \varphi_{\rm{B}} \cdot 6 + \cfrac{A_{\rm{v}} \cdot 6^3}{3 \cdot 5000}= 0.0216 A_{\rm{v}} + 0.054\)
Voor de horizontale verplaatsing geldt: \(w_{\rm{A,h}} = \cfrac{6A_{\rm{h}}}{EA} \)
Gebruik je vormveranderingsvoorwaarden om de statisch onbepaalde krachten op te lossen
Voorbeeld
\[\begin{split} \begin{align*} w_{\rm{A,v}}\left( A_{\rm{v}}, A_{\rm{h}} \right) &= 0 \\ 0.0216 A_{\rm{v}} + 0.054 &= 0 \\ A_{\rm{v}} &= -2.5 \ \rm{kN} \\ \\ w_{\rm{A,h}}\left( A_{\rm{v}}, A_{\rm{h}} \right) &= 0 \\ \cfrac{6A_{\rm{h}}}{EA} &= 0 \\ A_{\rm{h}} &= 0 \ \rm{kN} \end{align*} \end{split}\]
Meer voorbeelden#
Het algemene concept van de krachtenmethode wordt behandeld in hoofdstuk 2.1 terwijl de krachtenmethode voor raamwerken wordt behandeld in hoofdstuk 2.2.5 - 2.2.7 en de meer specifieke ‘hoekveranderingsvergelijkingen’ in hoofdstuk 3.1 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007).
Wanneer het boek de ‘momentenvlakstelling’ noemt in voorbeeld 2.2.6 en 2.2.7, kun je de verplaatsingen ook vinden met behulp van vergeet-mij-nietjes. De methode met verplaatsbare knopen (‘hoekveranderingsvergelijkingen met verplaatsbare knopen’) die in het verleden werd onderwezen wordt niet meer behandeld.
Instructies in collegevorm#
Dit onderwerp is in les 7 gepresenteerd in collegevorm van 0:07:50 - 0:31:50.
Opdrachten#
Opgaves 2.15 - 2.22, 2.24, 2.26 - 2.29, 2.42 - 2.48 in hoofdstuk 2.3 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007).
Opgaves 3.11 - 3.15, 3.22, 3.23, 3.25 - 3.33/1, 3.35, 3.36, 3.45, 3.47-1, 3.47-2, 3.47-4, 3.50, 3.51 in hoofdstuk 3.4 van het boek Mechanica, Statisch onbepaalde constructies en bezwijkanalyse (Hartsuijker and Welleman, 2007).
Antwoorden zijn beschikbaar op deze website voor hoofdstuk 2 en hier voor hoofdstuk 3.