15 september: TOZ

15 september: TOZ#

Gegeven is de volgende enkelvoudig statisch onbepaalde constructie:

../_images/structure1.svg

Opgave

Welke van de volgende opties is geschikt om met de krachtenmethode de constructie door te rekenen?

  • De inklemming bij \(\rm{A}\) vervangen door een scharnier met een statisch onbepaald moment, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Staaf \(\rm{BD}\) splitsen en een statisch onbepaald normaalkrachtenpaar toevoegen, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Staaf \(\rm{CG}\) splitsen en een statisch onbepaald normaalkrachtenpaar toevoegen, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{D}\) en \(\rm{E}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{E}\) en \(\rm{G}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

  • Scharnieroplegging bij \(\rm{C}\) vervangen door een verticaal rolscharnier met een statisch onbepaald verticale kracht, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

Oplossing

../_images/SB1.svg

Er zijn 7 onbekende oplegreacties en 6 onbekende verbindingskrachten. Dat geeft een uitwendige graad van statisch onbepaaldheid van 1. Omdat deze constructie niet gesloten is, is de inwendige graad van statisch onbepaaldheid ook gelijk aan 1.

  • De inklemming bij \(\rm{A}\) vervangen door een scharnier met een statisch onbepaald moment, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie1.svg

    Deze constructie is geen mechanisme dus een geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Staaf \(\rm{BD}\) splitsen en een statisch onbepaald normaalkrachtenpaar toevoegen, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie2.svg

    Deze constructie is geen mechanisme dus een geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Staaf \(\rm{CG}\) splitsen en een statisch onbepaald normaalkrachtenpaar toevoegen, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie3.svg

    Deze constructie is een mechanisme dus geen geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie4.svg

    Deze constructie is geen mechanisme dus een geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{D}\) en \(\rm{E}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie5.svg

    Deze constructie is een mechanisme dus geen geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Scharnier toevoegen tussen \(\rm{E}\) en \(\rm{G}\) met een statisch onbepaald momentenpaar, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie6.svg

    Deze constructie is een mechanisme dus geen geschikte statisch bepaalde constructie.

  • Scharnieroplegging bij \(\rm{C}\) vervangen door een verticaal rolscharnier met een statisch onbepaald verticale kracht, met bijpassende vormveranderingsvoorwaarde

    ../_images/optie7.svg

    Deze constructie is een mechanisme dus geen geschikte statisch bepaalde constructie.

Gekozen wordt voor het volgende statisch bepaalde systeem:

../_images/stat_b.svg

Opgave

Wat is de normaalkracht in \(\rm{BD}\) als functie van \(B_{\rm{v}}\)?

Oplossing

../_images/BD.svg
\[\begin{split} \begin{align} \sum F_{\rm{v}}^{\rm{BD}} &= 0 \\ B_{\rm{v}} + N_{\rm{BD}}&= 0 \\ N_{\rm{BD}} &= -B_{\rm{v}} \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is de normaalkracht in \(\rm{CG}\) als functie van \(B_{\rm{v}}\)?

Oplossing

../_images/CG_1.svg
\[\begin{split} \begin{align} \sum \left. T \right|_{\rm{E}}^{\rm{EG}} &= 0 \\ 84 \cdot 4 - N_{\rm{CG}} \cdot 8 &= 0 \\ N_{\rm{CG}} &= 42 \ \rm{kN} \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is de dwarskracht net links van \(\rm{D}\) als functie van \(B_{\rm{v}}\) is gelijk aan?

Oplossing

../_images/DG_1.svg
\[\begin{split} \begin{align} \sum F_{\rm{v}}^{\rm{DG}} &= 0 \\ V_{\rm{D}}^{\rm{AD}}-B_{\rm{v}} - 84 + 42 &= 0 \\ V_{\rm{D}}^{\rm{AD}} &= B_{\rm{v}} + 42 \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is het moment in \(\rm{D}\) als functie van \(B_{\rm{v}}\) is gelijk aan?

Oplossing

../_images/DG_2.svg
\[\begin{split} \begin{align} \sum \left. T \right|_{\rm{D}}^{\rm{DG}} &= 0 \\ M_{\rm{D}} + 84 \cdot 8 - 42 \cdot 12 &= 0 \\ M_{\rm{D}} &= -168 \ \rm{kNm} \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is de zakking in \(\rm{D}\) als functie van \(B_{\rm{v}}\)?

Oplossing

De verplaatsing in \(\rm{D}\) volgt uit een vergeet-me-nietje:

../_images/wAD.svg
\[\begin{split} \begin{align} w_{\rm{D}} &= \cfrac{168 \cdot 4^2}{2 \cdot 64000} + \cfrac{\left( B_{\rm{v}} + 42 \right) \cdot 4^3}{3 \cdot 64000} \\ w_{\rm{D}} &= \cfrac{1}{3000} \cdot B_{\rm{v}} + 0.035 \\ w_{\rm{D}} & \approx 0.000333 \cdot B_{\rm{v}} + 0.035 \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is \(B_{\rm{v}}\)?

Oplossing

De verplaatsing van \(\rm{B}\) kan worden gevonden met de verlenging van een staaf door axiale krachten:

../_images/wB.svg
\[\begin{split} \begin{align} w_{\rm{B}} &= - w_{\rm{D}} - \Delta L_{\rm{BD}} \\ w_{\rm{B}} &= - w_{\rm{D}} - \cfrac{-B_{\rm{v}} \cdot 8}{4000} \\ w_{\rm{B}} &= \cfrac{7}{3000} \cdot B_{\rm{v}} + 0.035 \\ w_{\rm{B}} & \approx 0.00233\cdot B_{\rm{v}} + 0.035 \\ \end{align} \end{split}\]

De vormveranderingsvoorwaarde geeft:

\[\begin{split} \begin{align} w_{\rm{B}} &= 0 \\ \cfrac{7}{3000} \cdot B_{\rm{v}} + 0.035 &= 0 \\ B_{\rm{v}} &= -15 \ \rm{kN} \end{align} \end{split}\]

Opgave

Wat is \(w_{\rm{E}}\)?

Oplossing

De verplaatsing van \(\rm{B}\) kan worden gevonden met de verlenging van een staaf door axiale krachten:

../_images/wB.svg

De verplaatsing van \(\rm{D}\) volgt uit de eerder opgestelde formule. De rotatie van \(\rm{D}\) volgt uit hetzelfde vergeet-me-nietje:

../_images/wAD.svg
\[\begin{split} \begin{align} \varphi_{\rm{D}} &= \cfrac{168 \cdot 4}{64000} + \cfrac{\left( -15 + 42 \right) \cdot 4^2}{2 \cdot 64000} \\ \varphi_{\rm{D}} &= 0.03 \ \rm{rad} \end{align} \end{split}\]

De dwarskracht in \(\rm{DE}\) in \(\rm{E}\) is gelijk aan:

../_images/VE.svg
\[\begin{split} \begin{align} \sum F_{\rm{v}}^{\rm{EG}} &= 0 \\ V_{\rm{E}}- 84 + 42 &= 0 \\ V_{\rm{E}} &= 42 \ \rm{kN} \end{align} \end{split}\]

De verplaatsing van \(\rm{E}\) volgt dan uit de verplaatsing van \(\rm{D}\), het kwispeleffect door de rotatie van \(\rm{D}\) en de extra verplaatsing door de dwarskracht in \(\rm{E}\):

../_images/we.svg
\[\begin{split} \begin{align} w_{\rm{E}} &= w_{\rm{D}} + \varphi_{\rm{D}} \cdot 4 + \cfrac{ 42 \cdot 4^3}{3 \cdot 64000} \\ w_{\rm{E}} &= 0.0995 \ \rm{m} \\ \end{align} \end{split}\]