Begeleide oefening 2

Begeleide oefening 2#

Gegeven is de volgende constructie:

../_images/structure9.svg

Fig. 152 Constructie, \(EI = \cfrac{250}{3} \ \rm{MNm^2}\)#

Opgave

Wat is de graad van statisch onbepaaldheid?

Oplossing

De constructie is 2e graads inwendig statisch onbepaald.

Opgave

Voor het geval dat \(nEI \to 0\), bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen:

Oplossing

Als deel \(\rm{BC}\) geen buigstijfheid meer heeft ontstaan er feitelijk twee losse liggertjes waarvan de linker 25 \(\rm{mm}\) zakt. Dit levert de onderstaande krachten en verplaatsingen:

\[A_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]
\[B_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]
\[C_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]
\[D_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]
\[M_{\rm{B}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kNm}\]
\[M_{\rm{D}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kNm}\]
\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}} \left( nEI \to 0 \right) = 25 \rm{mm}\]
\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{CD}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{mm}\]

Opgave

Voor het geval dat \(nEI \to \infty\), kies zelf een statisch bepaald systeem met vormveranderingsvoorwaardes en bepaal de krachtsverdeling:

Oplossing

Er wordt gekozen voor het onderstaande statisch bepaalde systeem, waarbij scharnieren en onbekende momentenparen zijn toegevoegd in \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\).

../_images/SB_systeem1.svg

Fig. 153 Statisch bepaald systeem met onbekende momenten, \(EI_{\rm{AB}} = EI_{\rm{CD}} = \cfrac{250}{3} \ \rm{MNm^2}, EI_{\rm{BC}} = \infty\)#

De bijbehorende vormveranderingsvoorwaarden zijn:

\[\varphi_{\rm{B}}^{\rm{AB}}=\varphi_{\rm{B}}^{\rm{BC}}\]
\[\varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}}=\varphi_{\rm{C}}^{\rm{CD}}\]

Omdat deel \(\rm{BC}\) oneindig stijf is geldt: \(\varphi_{\rm{B}}^{\rm{BC}}=\varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}}=\cfrac{25}{10000}=0.0025\rm{rad}\)

Met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel wordt het volgende gevonden: \(\varphi_{\rm{B}}^{\rm{AB}}=\cfrac{M_{\rm{B}}\cdot10}{3\cdot\cfrac{250}{3}\cdot1000} \rightarrow M_{\rm{B}}=62.5 \rm{kNm}\)

Uit momentenevenwicht van deel \(\rm{AB}\) volgt: \(\sum \left. T \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{AB}} = - A_{\rm{v}} \cdot 10 + 62.5=0 \rightarrow A_{\rm{v}} =6.25 \rm{kN}\)

Uit symmetrie volgt: \(M_{\rm{C}}=-M_{\rm{B}}=-62.5 \rm{kNm}\) en \(D_{\rm{v}}=-A_{\rm{v}}=-6.25 \rm{kN}\)

Met momentenevenwicht van de hele constructie kan nu worden bepaald dat \(B_{\rm{v}}=-18.75 \rm{kN}\) en \(C_{\rm{v}}=18.75 \rm{kN}\).

De zakkingen in het midden van de delen \(\rm{AB}\) en \(\rm{CD}\) kunnen worden bepaald uit de superpositie van de vervorming door buiging en de zakking van de opleggingen.

\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}} = 25 + \cfrac{62.5\cdot 10^2}{16\cdot\cfrac{250}{3}}=29.6875 \rm{mm}\]
\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{CD}} = - \cfrac{62.5\cdot 10^2}{16\cdot\cfrac{250}{3}}=-4.6875 \rm{mm}\]

Opgave

Voor het geval van variabele \(n\) is het volgende statisch bepaalde systeem:

../_images/SB.svg

Fig. 154 Constructie#

Oplossing

De vormveranderingsvoorwaardes zijn:

\[w_{\rm{A}}=25 \rm{mm}\]
\[w_{\rm{D}}=0 \rm{mm}\]

Opgave

Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen als \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) gelijk zijn aan 0 en je de opgelegde zakking/vormveranderingsvoorwaarde voor \(\rm{A}\) negeert.

Oplossing

Als \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) gelijk zijn aan 0 dan kan de constructie vrij vervormen en onstaat er geen buiging. Hieruit volgt:

\[ M_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0 \rm{kNm} \]
\[ M_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0 \rm{kNm} \]
\[ \varphi_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0.0025 \rm{rad} \]
\[ \varphi_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0.0025 \rm{rad} \]
\[ w_{\rm{A}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 50 \rm{mm} \]
\[ w_{\rm{D}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = -25 \rm{mm} \]

Opgave

Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen als functie van \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\).

Oplossing

De momenten \(M_{\rm{B}}\) en \(M_{\rm{C}}\) kunnen worden bepaald door respectievelijk \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) te verplaatsen naar \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\).

\[M_{\rm{B}} = 10 \cdot A_{\rm{v}}\]
\[M_{\rm{C}} = 10 \cdot D_{\rm{v}}\]

De hoekverdraaiingen in \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\) kunnen worden bepaald uit een superpositie van de vervorming door buiging en de vrije vervorming zoals in de vorige opgave berekend. Voor de vervorming door buiging wordt het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel gebruikt.

\[ \varphi_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = -\cfrac{10 \cdot A_{\rm{v}} \cdot 10}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} - \cfrac{10 \cdot D_{\rm{v}} \cdot 10}{6 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + 0.0025 = -0.0004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.0002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.0025 \]
\[ \varphi_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = \cfrac{10 \cdot A_{\rm{v}} \cdot 10}{6 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + \cfrac{10 \cdot D_{\rm{v}} \cdot 10}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + 0.0025 = 0.0002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + 0.0004 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.0025 \]

De zakkingen in \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) kunnen worden bepaald uit de superpositie van vrije vervorming van de constructie, vervorming door buiging van deel \(\rm{BC}\) en vervorming door buiging van de delen \(\rm{AB}\) en \(\rm{CD}\).

\[ w_{\rm{A}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = 0.05 + 10 \cdot \left( -0.0004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.0002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} \right) - \cfrac{ A_{\rm{v}} \cdot 10^3}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot 1000} =-0.004 \cdot A_{\rm{v}} -0.004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.05 \]
\[ w_{\rm{D}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = -0.025 - 10 \cdot \left( 0.0002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + 0.0004 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} \right) - \cfrac{ D_{\rm{v}} \cdot 10^3}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot 1000} =-0.002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + -0.004 \cdot D_{\rm{v}} + -0.004\cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} -0.025 \]

Opgave

Los met de vormveranderingsvoorwaardes de onbekende \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) op. Let op, dit is een lastige wiskundige exercitie. Je wordt aangeraden gebruik te maken van een tool zoals SymPy.

Oplossing

Oplossen van de vergelijkingen levert:

\[ A_{\rm{v}}= \cfrac{25 \cdot n}{4 \cdot n + 2} \]
\[ D_{\rm{v}}= -\cfrac{25 \cdot n}{4 \cdot n + 2} \]

Deze functies kunnen ook geplot worden:

../_images/steunpuntszetting.svg

Fig. 155 Oplegreacties als functie van \(n\)#