Begeleide oefening 2: Verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden en matrixmethode

Inhoud

Begeleide oefening 2: Verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden en matrixmethode#

Gegeven is de volgende constructie:

../_images/constructie21.svg — Fig. 209 Constructie#

Verplaatsingenmethode met vrijheidsgraden#

Alle verplaatsingen kunnen met vergeet-me-nietjes worden beschreven uitgedrukt in de rotatie van \(\rm{D}\).

../_images/phi_D.svg — Fig. 210 Vrijheidsgraad \(\varphi_D\)#

Opgave

Gegeven zijn 6 vergeet-me-nietjes:

../_images/vergeet-me-nietjes.svg — Fig. 211 Vergeet-me-nietjes#

Oplossing

Vergeet-me-nietje 3 en 4. Punt \(\rm{D}\) blijft op z’n plek, dus kan gezien worden als oplegging die niet verplaatst.

De constructie wordt gesplitst in \(\rm{D}\). Daarmee kunnen we het vrijlichaamsschema van beide delen en knoop \(\rm{D}\) tekenen.

../_images/VLS.svg — Fig. 212 Vrijlichaamsschema’s van drie delen en knoop \(\rm{D}\)#

Opgave

Los \(M_{\rm{D}}^{\rm{AD}}\), \(M_{\rm{D}}^{\rm{CD}}\) en \(M_{\rm{D}}^{\rm{BD}}\) op als functie \(\varphi_{\rm{D}}\).

Oplossing

Voor deel \(\rm{AB}\) kan een statisch onbepaalde vergeet-me-nietje worden gebruikt om de rotatie van \(\rm{D}\) als functie van het moment \(M_{\rm{D}}^{\rm{AD}}\) te vinden:

\[ \varphi_{\rm{D}} = \cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} \cdot 5}{4 \cdot 120000} = \cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{AD}}}{96000} \]

Omschrijven van deze relatie geeft:

\[ M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} = 96000 \cdot \varphi_{\rm{D}} \]

Voor deel \(\rm{CD}\) kan een statisch bepaalde vergeet-me-nietje worden gebruikt:

\[ \varphi_{\rm{D}} = -\cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} \cdot 5}{3 \cdot 120000} = -\cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{CD}}}{72000} \]

Omschrijven van deze relatie geeft:

\[ M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} = -72000 \cdot \varphi_{\rm{D}} \]

Tot slot, voor deel \(\rm{DB}\) kan hetzelfde statisch bepaalde vergeet-me-nietje worden gebruikt:

\[ \varphi_{\rm{D}} = - \cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{BD}} \cdot 2}{3 \cdot 120000} - \cfrac{29 \cdot 2}{6 \cdot 120000} = -\cfrac{M_{\rm{D}}^{\rm{BD}}}{180000} - \cfrac{29}{360000} \]

Omschrijven van deze relatie geeft:

\[ M_{\rm{D}}^{\rm{BD}} = -180000 \cdot \varphi_{\rm{D}} - 14.5 \]

Opgave

Los \(\varphi_{\rm{D}}\) op.

Oplossing

Het momentenevenwicht in knoop \(\rm{D}\) geeft:

\[\begin{split} \begin{align*} M_{\rm{D}}^{\rm{AD}} - M_{\rm{D}}^{\rm{CD}} - M_{\rm{D}}^{\rm{BD}} + 29 &= 0 \\ \varphi_{\rm{D}} &= \cfrac{-1}{8000} \approx -1.25 \cdot 10^{-4} \ \rm{rad} \end{align*} \end{split}\]

Matrixmethode#

Gegeven is \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} \varphi_{\rm{A}} & \varphi_{\rm{B}} & \varphi_{\rm{C}} & \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix}^T\).

Opgave

Bepaal de elementstijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) voor element \(\rm{AD}\) en \(\rm{CD}\).

Oplossing

De stijheidsmatrix is definiëerd als \(\mathbf{K^{\rm{(e)}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 EI}{L} & \cfrac{2EI}{L} \\ \cfrac{2EI}{L} & \cfrac{4EI}{L} \end{bmatrix}\). Dit geeft:

\[\begin{split} \mathbf{K^{\rm{AD}}} = \mathbf{K^{\rm{AD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{5} & \cfrac{2 \cdot 120000}{5} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{5} & \cfrac{4 \cdot 120000}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 96000 & 48000 \\ 48000 & 96000 \end{bmatrix} \end{split}\]

Opgave

Bepaal de elementstijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\) voor element \(\rm{BD}\).

Oplossing

\[\begin{split} \mathbf{K^{\rm{BD}}} = \begin{bmatrix} \cfrac{4 \cdot 120000}{2} & \cfrac{2 \cdot 120000}{2} \\ \cfrac{2 \cdot 120000}{2} & \cfrac{4 \cdot 120000}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 240000 & 120000 \\ 120000 & 240000 \end{bmatrix} \end{split}\]

Opgave

Bepaal de globale stijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\).

Oplossing

Alle stijfheidsmatrices kunnen worden samengevoegd in de globale stijfheidsmatrix \(\mathbf{K}\). Hierbij worden de kolommen en rijen gekoppeld aan de juiste vrijheidsgraden. We beginnen met element \(\rm{AD}\), dat knopen \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 1 en 4):

\[\begin{split} \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 96000 & 0 & 0 & 48000\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 48000 & 0 & 0 & 96000\\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Nu voegen we het tweede element \(\rm{CD}\) toe, dat knopen \(\rm{C}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 3 en 4):

\[\begin{split} \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 96000 & 0 & 0 & 48000\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 96000 & 48000\\ 48000 & 0 & 48000 & 192000\\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Tot slot voegen we het derde element \(\rm{BD}\) toe, dat knopen \(\rm{B}\) en \(\rm{D}\) koppelt (rij en kolom 2 en 4):

\[\begin{split} \mathbf{K} = \begin{bmatrix} 96000 & 0 & 0 & 48000\\ 0 & 240000 & 0 & 120000\\ 0 & 0 & 96000 & 48000\\ 48000 & 120000 & 48000 & 432000\\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Opgave

Bepaal de krachtvector \(\mathbf{F}\).

Oplossing

Nu kan de krachtvector worden opgesteld. Begin met de externe krachten:

\[\begin{split} \mathbf{f} = \begin{bmatrix} 0 \\ 29 \\ 0 \\ -29 \end{bmatrix} \end{split}\]

Vervolgens worden de opleggingen toegevoegd. De oplegging bij \(\rm{A}\) levert een moment op van \(M_{\rm{A}}\). Dit geeft de volgende krachtvector:

\[\begin{split} \mathbf{f} = \begin{bmatrix} M_{\rm{A}} \\ 29 \\ 0 \\ -29 \end{bmatrix} \end{split}\]

Opgave

Bepaal de waarde van de vrijheidsgraden \(\varphi_{\rm{A}}\), \(\varphi_{\rm{B}}\), \(\varphi_{\rm{C}}\) en \(\varphi_{\rm{D}}\).

Oplossing

Het hele systeem kan nu worden opgelost met de volgende vergelijking:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 96000 & 0 & 0 & 48000\\ 0 & 240000 & 0 & 120000\\ 0 & 0 & 96000 & 48000\\ 48000 & 120000 & 48000 & 432000\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \varphi_{\rm{B}} \\ \varphi_{\rm{C}} \\ \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M_{\rm{A}} \\ 29 \\ 0 \\ -29 \end{bmatrix} \end{split}\]

Om de onbekende rotaties op te lossen, kan de eerste rij en kolom worden verwijderd:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 240000 & 0 & 120000\\ 0 & 96000 & 48000\\ 120000 & 48000 & 432000\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varphi_{\rm{B}} \\ \varphi_{\rm{C}} \\ \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 \\ 0 \\ -29 \end{bmatrix} \end{split}\]

Dit geeft:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} \varphi_{\rm{B}} \\ \varphi_{\rm{C}} \\ \varphi_{\rm{D}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cfrac{7}{19200} \\ \cfrac{1}{16000} \\ \cfrac{-1}{8000} \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 3.65 \cdot 10^{-4} \\ 6.25 \cdot 10^{-5} \\ -1.25 \cdot 10^{-4} \end{bmatrix} \end{split}\]