Bronvermelding

Deze oefening is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CT1000/2024/week_3/session_3/intro.html

Begeleide oefening

Gegeven is de volgende constructie:

Fig. 86 Constructie, \(EA = 3750 \ \rm{kN}\)

Bepaal de verplaatsingen van de knopen.

Opgave

Oplossing

De constructie is 1ste/de graads inwendig statisch onbepaald

Opgave

Oplossing

• Weghalen horizontale oplegging bij B

• Weghalen verticale oplegging bij B

  • Inderdaad! Als je de hele oplegging weghaalt heb je een mechanisme kan roteren rondom A.

• Splitsen constructie in pendelstaaf AC -Inderdaad, als je deze pendelstaaf weghaalt krijg je een mechanisme wat kan roteren om A en B.

• Splitsen constructie in pendelstaaf AD

• Splitsen constructie in pendelstaaf CE

  • Inderdaad, als je deze pendelstaaf weghaalt krijg je een mechanisme wat kan roteren om A en B.

• Splitsen constructie in pendelstaaf DE

  • Inderdaad, als je deze pendelstaaf weghaalt krijg je een mechanisme wat kan roteren om A en B.

• Toevoegen scharnier halverwege CD

  • Inderdaad, als je deze pendelstaaf weghaalt krijg je een lokaal mechanisme wat kan roteren om C en D.

Opgave

We kiezen voor een statisch onbepaalde kracht \(B_{\rm{h}}\) (naar links positief) met de vormveranderingsvoorwaarde \(w_{\rm{B,h}} = 0 \).

Fig. 87 Statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde

Bepaal de normaalkrachten in alle staven als functie van \(B_{\rm{h}}\).

Oplossing

De staafkrachten worden opgelost, beginnende bij de krachten in de staven \(\rm{BE}\) en \(\rm{BD}\):

Fig. 88 Vrijlichaamsschema van knoop B \(\rm{B}\)

\[\begin{split} \begin{array}{c} \sum {{F_{\rm{v}}} = 0} \to {N_{{\rm{BE}}}} = -6.25{\rm{ kN}}\\ \sum {{F_{\rm{h}}} = 0} \to {N_{{\rm{BD}}}} = 3.75 - {B_{\rm{h}}} \end{array} \end{split}\]

Fig. 89 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{B}\) met de opgeloste staafkrachten

Vervolgens wordt een snede gemaakt door de staven \(\rm{AD}\), \(\rm{CD}\) en \(\rm{CE}\):

Fig. 90 Vrijlichaamsschema van deel \(\rm{AC}\)

\[\begin{split} \begin{array}{c} \sum {{F_{\rm{v}}} = 0} \to {N_{{\rm{CD}}}} = - 6.25{\rm{ kN}}\\ {\sum {\left. T \right|} _{\rm{D}}} = 0 \to {N_{CE}} = - 7.5{\rm{ kN}}\\ \sum {{F_{\rm{h}}} = 0} \to {N_{{\rm{AD}}}} = 11.25 - {B_{\rm{h}}} \end{array} \end{split}\]

Fig. 91 Vrijlichaamsschema van deel \(\rm{AC}\) met de berekende staafkrachten

Daarna wordt knoopevenwicht van \(\rm{D}\) beschouwd:

Fig. 92 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{D}\)

\[\sum {{F_{\rm{v}}} = 0} \to {N_{{\rm{DE}}}} = 6.25{\rm{ kN}}\]

Fig. 93 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{D}\) met de opgeloste staafkracht

En ten slotte knoop \(\rm{C}\):

Fig. 94 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{C}\)

\[\sum {{F_{\rm{v}}} = 0} \to {N_{{\rm{AC}}}} = - 18.75{\rm{ kN}}\]

Fig. 95 Vrijlichaamsschema van knoop \(\rm{C}\) met de opgeloste staafkracht

Opgave

Bepaal de verlenging/verkorting in alle staven als functie van \(B_{\rm{h}}\).

Oplossing

Nu kan voor elk element de verlenging / verkorting worden berekend:

\[\begin{split}\Delta L = \frac{{NL}}{{EA}} \to \begin{array}{c} {\Delta {L_{{\rm{AC}}}} = - 0.025 \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{CE}}}} = - 0.012\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{\rm{BE}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx - 0.00833\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{CD}}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx - 0.00833\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{DE}}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx 0.00833 \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{AD}}}} = 0.018 - 0.0016{B_{\rm{h}}} \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{DB}}}} = 0.006 - 0.0016{B_{\rm{h}}} \ {\rm{ m}}} \end{array}\end{split}\]

Opgave

Om de verplaatsingen te vinden van de knopen kijken we afzonderlijk naar de invloed van de horizontale kracht \(B_{\rm{h}}\) en van de belasting van \(20 \ \rm{kN}\). Hiermee worden de Williot-diagrammetjes iets simpeler

We beginnen met de de belasting van \(20 \ \rm{kN}\). Daarvoor reken we dus enkel met de volgende verkortingen/verlengingen:

\[\begin{split}\begin{array}{c} {\Delta {L_{{\rm{AC}}}} = - 0.025 \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{CE}}}} = - 0.012\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{\rm{BE}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx - 0.00833\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{CD}}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx - 0.00833\ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{DE}}}} = \cfrac{1}{{120}} \approx 0.00833 \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{AD}}}} = 0.018 \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{DB}}}} = 0.006 \ {\rm{ m}}} \end{array}\end{split}\]

De verlengingen/verkortingen ten gevolge van de \(20 \ \rm{kN}\) zijn deels gegeven:

Scharnier	Verplaatsing in horizontale richting → (mm)	Verplaatsing in verticale richting ↓ (mm)
\(\rm{A}\)	\(0\)	\(0\)
\(\rm{B}\)	?	?
\(\rm{C}\)	\(21\)	\(47\)
\(\rm{D}\)	\(18\)	\(\cfrac{233}{6} \approx 39\)
\(\rm{E}\)	\(9\)	\(\cfrac{65}{3} \approx 22\)

Fig. 96 Deel van vervormde constructie statisch bepaalde constructie ten gevolge van 20 kN.

Bepaal de ontbrekende verplaatsing. Het beginnetje van het williot-diagram is gemaakt:

Fig. 97 Incompleet Williot diagram

Oplossing

Fig. 98 Williot diagram

Opgave

Nu gaan we het williot-diagram teken ten gevolge van \(B_{\rm{h}}\). Daarvoor reken we dus enkel met de volgende verkortingen/verlengingen:

\[\begin{split}\begin{array}{c} {\Delta {L_{{\rm{AC}}}} = \Delta {L_{{\rm{CE}}}} = \Delta {L_{\rm{BE}}} = \Delta {L_{{\rm{CD}}}} = \Delta {L_{{\rm{DE}}}} = 0}\\ {\Delta {L_{{\rm{AD}}}} = - 0.0016{B_{\rm{h}}} \ {\rm{ m}}}\\ {\Delta {L_{{\rm{DB}}}} = - 0.0016{B_{\rm{h}}} \ {\rm{ m}}} \end{array}\end{split}\]

Bepaal op basis van deze verlengingen en verkortingen alle verplaatsingen met een apart williot-diagram. Neem daarvoor een zelf gekozen lengte aan voor \(B_{\rm{h}}\) (bijvoorbeeld \(4\) hokjes komt overeen met \(1.6{B_{\rm{h}}}\)). Houd daarnaast eerst \(\rm{AD}\) in de horizontale oriëntatie zodat je die daarna kan terugdraaien.

Oplossing

Fig. 99 Williot diagram

Scharnier	Verplaatsing in horizontale richting → (mm)	Verplaatsing in verticale richting ↓ (mm)
\(\rm{A}\)	\(0\)	\(0\)
\(\rm{C}\)	\(-0.8{B_{\rm{h}}}\)	\(-0.6{B_{\rm{h}}}\)
\(\rm{D}\)	\(-1.6{B_{\rm{h}}}\)	\(0\)
\(\rm{E}\)	\(-0.8{B_{\rm{h}}}\)	\(0.6{B_{\rm{h}}}\)
\(\rm{B}\)	\(-3.2{B_{\rm{h}}}\)	\(2.4{B_{\rm{h}}}\)

Opgave

Als het goed is heb je gevonden dat \(\rm{B}\) \(2.4 B_{\rm{h}}\) verticaal naar beneden verplaatst. Draai onze vastgehouden \(\rm{AD}\) nu zo terug dat \(\rm{B}\) niet meer verticaal verplaatst.

Oplossing

\(\theta = \cfrac{2.4{B_{\rm{h}}}}{{12000}} = 0.0002{B_{\rm{h}}}{\rm{ rad}}\) ⟲, dit geeft:

Scharnier	Verplaatsing in horizontale richting ten gevolge van rotatie → (mm)	Verplaatsing in verticale richting ten gevolge van rotatie ↓ (mm)
\(\rm{A}\)	\(0\)	\(0\)
\(\rm{C}\)	\(-0.8 B_\rm{h}\)	\(-0.6 B_\rm{h}\)
\(\rm{D}\)	\(0\)	\(-1.2B_\rm{h}\)
\(\rm{E}\)	\(-0.8 B_\rm{h}\)	\(-1.8B_\rm{h}\)
\(\rm{B}\)	\(0\)	\(-2.4 B_\rm{h}\)

Resulteert in:

Scharnier	Verplaatsing in horizontale richting → (mm)	Verplaatsing in verticale richting ↓ (mm)
\(\rm{A}\)	\(0\)	\(0\)
\(\rm{C}\)	\(-1.6B_\rm{h}\)	\(-1.2B_\rm{h}\)
\(\rm{D}\)	\(-1.6{B_{\rm{h}}}\)	\(-1.2B_\rm{h}\)
\(\rm{E}\)	\(-1.6B_\rm{h}\)	\(-1.2B_\rm{h}\)
\(\rm{B}\)	\(-3.2B_\rm{h}\)	\(0\)

Fig. 100 Constructie in verplaatste stand

Opgave

Oplossing

\[{w_{{\rm{B,h}}}} = 0 \to 24 - 3.2{B_{\rm{h}}} = 0 \to {B_{\rm{h}}} = 7.5{\rm{ kN}}\]

Opgave

Gebruik je resultaat om de normaalkrachten in alle staven te vinden.

Oplossing

Element	Normaalkracht (kN)
\(\rm{AC}\)	-18.75
\(\rm{CE}\)	-7.5
\(\rm{BE}\)	-6.25
\(\rm{CD}\)	-6.25
\(\rm{DE}\)	6.25
\(\rm{AD}\)	3.75
\(\rm{DB}\)	-3.75

Fig. 101 Normaalkrachtenlijn

Als je alles goed hebt gedaan zou je op de volgende verplaatsingen uit moeten komen

Scharnier	Verplaatsing in horizontale richting → (mm)	Verplaatsing in verticale richting ↓ (mm)
\(\rm{A}\)	\(0\)	\(0\)
\(\rm{C}\)	\(9\)	\(38\)
\(\rm{D}\)	\(6\)	\(29.833\)
\(\rm{E}\)	\(-3\)	\(12.66\)
\(\rm{B}\)	\(0\)	\(0\)

Fig. 102 Vervormde constructie