Begeleide oefening 1

Begeleide oefening 1#

Gegeven is de volgende constructie:

../_images/Example.svg

Fig. 107 Constructie, \(EA = \infty, EI = \cfrac{16}{3} \ \rm{MNm^2}\)#

Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen.

Opgave

Ga uit van het volgende statisch bepaalde systeem:

../_images/SB-systeem2.svg

Fig. 108 Statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde, \(EA = \infty, EI = \cfrac{16}{3} \ \rm{MNm^2}\)#

Los de krachtsverdeling en verplaatsingen van deze constructie op als functie van \(A_{\rm{v}}\)

Oplossing

../_images/VrijlichaamsschemaBC.svg

Fig. 109 Vrijlichaamsschema van deel BC#

\[ M_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} \right) = 4 \cdot A_{\rm{v}} -200 \]

De hoekverdraaiing bij B, \(\varphi_{\rm{B}}\), kan worden bepaald uit \(M_{\rm{B}}\) met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel.

\[ \varphi_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} \right) = \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{\left(4 \cdot A_{\rm{v}} -200\right) \cdot6}{\cfrac{16}{3} \cdot 10^3} = 0.0015 \cdot A_{\rm{v}} -0.0750 \]

De zakking in A, \(w_{\rm{A}}\), kan worden bepaald door deel AB bij B schuin in te klemmen met hoek \(\varphi_{\rm{B}}\) en de zakkingen ten gevolge van de verdeelde belasting en \(A_{\rm{v}}\) in rekening te brengen. Hiervoor worden het vergeet-mij-nietje voor een uitkragende ligger met een verdeelde belasting en het vergeet-mij-nietje voor een uitkragende ligger belast door een puntlast gebruikt:

\[ w_{\rm{A}} \left( A_{\rm{v}} \right) = \varphi_{\rm{B}} \cdot 4 - \cfrac{25 \cdot 4^4}{8 \cdot \cfrac{16}{3} \cdot 10^3} + \cfrac{A_{\rm{v}} \cdot 4^3}{3 \cdot \cfrac{16}{3} \cdot 10^3} =0.01 \cdot A_{\rm{v}} -0.45 \]

Opgave

Los de vormveranderingsvoorwaarde op om \(A_{\rm{v}}\) te vinden.

Oplossing

De vormveranderingsvoorwaarde is: \(w_{\rm{A}} = 0.01 \cdot A_{\rm{v}} -0.45 = 0\).

Hieruit volgt \(A_{\rm{v}} = 45 \rm{kN}\)

Opgave

Los nu de andere oplegreacties op en bepaal de momenten en verplaatsingen.

Oplossing

Nu \(A_{\rm{v}}\) bekend is kunnen de andere oplegreacties worden opgelost, \(B_{\rm{v}}\) en \(C_{\rm{v}}\) worden omhoog positief aangenomen. De gebruikte vergelijkingen zijn:

\[ \sum \left. T \right| _ {\rm{C}} = -45 \cdot 10 + 25 \cdot 4 \cdot 8 - B_{\rm{v}} \cdot 6 = 0 \rightarrow B_{\rm{v}} = 58.3 \rm{kN} \]
\[ \sum F_ {\rm{v}} = 45 - 4 \cdot 25 + 58.3 + C_{\rm{v}} = 0 \rightarrow C_{\rm{v}} = -3.3 \rm{kN} \]

\(M_{\rm{B}}\) kan worden bepaald uit de momentensom om B van deel AB, dit geeft: \(M_{\rm{B}} = - 20 \rm{kNm}\). \(M_{\rm{halverwege \ AB}}\) kan op vergelijkbare wijze worden bepaald uit de momentensom om het punt halverwege AB: \(M_{\rm{halverwege \ AB}} = 40 \rm{kNm}\).

De zakking halverwege AB, \(w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}}\), kan op verschillende manieren worden gevonden. Hier wordt deze bepaald met behulp van het het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel en het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten met een verdeelde belasting.

\[ w_{\rm{halverwege \ AB}} = \cfrac{5}{384} \cdot \cfrac{25 \cdot 4^4}{\cfrac{16}{3}} - \cfrac{1}{16} \cdot \cfrac{20 \cdot 4^2}{\cfrac{16}{3}} = 12 \rm{mm} \]

De zakking halverwege BC kan worden bepaald met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel:

\[ w_{\rm{halverwege \ BC}} = - \cfrac{1}{16} \cdot \cfrac{20 \cdot 6^2}{\cfrac{16}{3}} = -8 \rm{mm} \]