Begeleide oefening 3

import matplotlib
if not hasattr(matplotlib.RcParams, "_get"):
    matplotlib.RcParams._get = dict.get

Begeleide oefening 3#

Gegeven is de volgende constructie, een aanpassing van het voorbeeld in Instructie met een extra ondersteuning:

../_images/structure2.svg

Fig. 66 Constructie, \(EI = 5000 \ \rm{kNm^2}, EA = 20000 \ \rm{kN}\)#

Opgave

Bepaal de nieuwe segmenten en teken de vrijlichaamsschema voor de nieuwe segmenten en de segmenten waar iets verandert is.

Solution

Only \( w_{\rm{AC}} \left(0\right) = 0 \) needs to be adapted

../_images/FBD_AD.svg

Fig. 67 Vrijlichaamsdiagram AD#

../_images/FBD_AC_2.svg

Fig. 68 Vrijlichaamsdiagram AC#

Opgave

Stel de nieuwe vergelijkingen op voor de krachtsgrootheden en verplaatsingen.

Solution

Er zijn 2 nieuwe onbekenden

Opgave

Solution

\(u_{\rm{AD}} \left( \rm{D} \right) = 0\)

Opgave

Solution

../_images/FBD_A_2.svg

Fig. 69 Vrijlichaamsdiagram Aa#

  • \( + u_{\rm{AD}} \left( \rm{A} \right) = w_{\rm{AC}} \left( \rm A \right)\)

  • \( + N_{\rm{AD}} \left( \rm{A} \right) = - V_{\rm{AC}} \left( \rm A \right)\)

Opgave

Los de integratieconstanten op. Je kan gebruik maken van de volgende code cellen met de code van Instructie die dus nog aangepast moeten worden.

import numpy as np

A = np.array([
    [    0,      0,     0,  1,    0,       0,    0,  0],
    [    0,      1,     0,  0,    0,       0,    0,  0],
    [    0,      0,     0,  0, -4/1875, -1/625, -4,  1],
    [    0,      0,     0,  0,  1/625,  1/1250,  1,  0],
    [-4/1875, -1/625,  -4,  1,    0,       0,    0, -1],
    [ 1/625,  1/1250,   1,  0,    0,       0,   -1,  0],
    [    4,      1,     0,  0,    0,      -1,    0,  0],
    [    1,      0,     0,  0,   -1,       0,    0,  0]
])

b = np.array([
       0,
       0,
    -8/375,
     8/375,
       0,
       0,
       0,
       0
])

np.linalg.solve(A,b)

import sympy as sym
sym.init_printing()

x = sym.symbols('x')

q = 10 
EI = 5000 
EA = 20000 
F = 150

q_AC = 0
q_BC = q

C_1, C_2, C_3, C_4 = sym.symbols('C_1 C_2 C_3 C_4')
C_5, C_6, C_7, C_8 = sym.symbols('C_5 C_6 C_7 C_8')

V_AC = -sym.integrate(q_AC, x) + C_1
M_AC = sym.integrate(V_AC, x) + C_2
kappa_AC = M_AC/EI
phi_AC = sym.integrate(kappa_AC, x) + C_3
w_AC = -sym.integrate(phi_AC, x) + C_4

V_BC = -sym.integrate(q_BC, x) + C_5
M_BC = sym.integrate(V_BC, x) + C_6
kappa_BC = M_BC/EI
phi_BC = sym.integrate(kappa_BC, x) + C_7
w_BC = -sym.integrate(phi_BC, x) + C_8

eq1 = sym.Eq(w_AC.subs(x,0),0)
eq2 = sym.Eq(M_AC.subs(x,0),0)
eq3 = sym.Eq(w_BC.subs(x,4),0)
eq4 = sym.Eq(phi_BC.subs(x,4),0)
eq5 = sym.Eq(w_AC.subs(x,4)-w_BC.subs(x,0),0)
eq6 = sym.Eq(phi_AC.subs(x,4)-phi_BC.subs(x,0),0)
eq7 = sym.Eq(M_AC.subs(x,4) - M_BC.subs(x,0),0)
eq8 = sym.Eq(V_AC.subs(x,4) - V_BC.subs(x,0),0)

sol = sym.solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8],(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6,C_7,C_8))
for k, v in sol.items():
    print(f"{k} = {v} ≈ {v.evalf()}")

Opgave

De constructie wordt nog wat meer uitgebreid.

../_images/structure3.svg

Fig. 70 Constructie#

Opgave

Bepaal de nieuwe segmenten en teken de vrijlichaamsschema voor de nieuwe segmenten en de segmenten waar iets verandert is. Teken ook de nieuwe overgang.

Solution

../_images/FBD_D.svg

Fig. 71 Vrijlichaamsdiagram D#

  • \( u_{\rm{DE}} \left( E \right) = 0 \)

  • \( \cfrac{4}{5} \cdot N_{\rm{DE}} = -150 \to N_{\rm{DE}} = -187.5\)

Opgave

Solution

  • De verplaatsingen en krachten in DACB zijn ongewijzigd tov oefening 3

    • Exact, in de nieuwe vergelijkingen komen geen krachtsgrootheden / verplaatsingen van de andere staven voor. De horizontale verplaatsing van AD heeft dus geen invloed op DACB (vanwege kleine verplaatsingen)

  • De verplaatsingen en krachten in DACB wijzigen tov oefening 3

    • Onjuist, komen in je nieuwe vergelijkingen krachten of verplaatsingen voor van het deel DACB van de constructie?

  • De staaf DE kan onafhankelijk van de rest van de constructie worden doorgerekend

    • Exact, met deze twee vergelijkingen kunnen de twee integratieconstantes van staaf DE worden opgelost.