Lesson October Wednesday 8th#
During today’s lesson you’ll work on a complex exercise on the topic of force method for beam structures. Please ask your questions regarding the homework as well!
Oefening 1#
Gegeven is de volgende constructie:
Fig. 99 Constructie, \(EA = \infty, EI = \cfrac{16}{3} \ \rm{MNm^2}\)#
Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen.
Exercise
Ga uit van het volgende statisch bepaalde systeem:
Fig. 100 Statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde, \(EA = \infty, EI = \cfrac{16}{3} \ \rm{MNm^2}\)#
Los de krachtsverdeling en verplaatsingen van deze constructie op als functie van \(A_{\rm{v}}\)
Solution
Fig. 101 Vrijlichaamsschema van deel BC#
De hoekverdraaiing bij B, \(\varphi_{\rm{B}}\), kan worden bepaald uit \(M_{\rm{B}}\) met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel.
De zakking in A, \(w_{\rm{A}}\), kan worden bepaald door deel AB bij B schuin in te klemmen met hoek \(\varphi_{\rm{B}}\) en de zakkingen ten gevolge van de verdeelde belasting en \(A_{\rm{v}}\) in rekening te brengen. Hiervoor worden het vergeet-mij-nietje voor een uitkragende ligger met een verdeelde belasting en het vergeet-mij-nietje voor een uitkragende ligger belast door een puntlast gebruikt:
Exercise
Los de vormveranderingsvoorwaarde op om \(A_{\rm{v}}\) te vinden.
Solution
De vormveranderingsvoorwaarde is: \(w_{\rm{A}} = 0.01 \cdot A_{\rm{v}} -0.45 = 0\).
Hieruit volgt \(A_{\rm{v}} = 45 \rm{kN}\)
Exercise
Los nu de andere oplegreacties op en bepaal de momenten en verplaatsingen.
Solution
Nu \(A_{\rm{v}}\) bekend is kunnen de andere oplegreacties worden opgelost, \(B_{\rm{v}}\) en \(C_{\rm{v}}\) worden omhoog positief aangenomen. De gebruikte vergelijkingen zijn:
\(M_{\rm{B}}\) kan worden bepaald uit de momentensom om B van deel AB, dit geeft: \(M_{\rm{B}} = - 20 \rm{kNm}\). \(M_{\rm{halverwege \ AB}}\) kan op vergelijkbare wijze worden bepaald uit de momentensom om het punt halverwege AB: \(M_{\rm{halverwege \ AB}} = 40 \rm{kNm}\).
De zakking halverwege AB, \(w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}}\), kan op verschillende manieren worden gevonden. Hier wordt deze bepaald met behulp van het het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel en het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten met een verdeelde belasting.
De zakking halverwege BC kan worden bepaald met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel:
Oefening 2#
Gegeven is de volgende constructie
Fig. 102 Constructie, \(EI_{\rm{AC}} = 1800 \ \rm{kNm}^2, EI_{\rm{BC}} = 900 \ \rm{kNm^2}\)#
Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen.
Exercise
Wat is de graad van inwendig statisch onbepaaldheid?
Solution
De constructie is 1ste/de graads inwendig statisch onbepaald
Exercise
Solution
Weghalen verticale oplegging bij A
Inderdaad, er is geen vergeet-me-nietje die voor dat statisch bepaalde systeem de verplaatsingen geeft
Toevoegen scharnier bij A
Inderdaad, er is geen vergeet-me-nietje die voor dat statisch bepaalde systeem de verplaatsingen geeft
Toevoegen scharnier bij C
Er zijn wel degelijk vergeet-me-nietjes voor deze situatie, maar het rechter deel zal echter ook nog roteren rondom B
Weghalen verticale oplegging bij B
Statisch bepaald systeem 1#
Exercise
Ga uit van het volgende statisch bepaalde systeem:
Fig. 103 Statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde, \(EI_{\rm{AC}} = 1800 \ \rm{kNm}^2, EI_{\rm{BC}} = 900 \ \rm{kNm^2}\)#
Los de krachtsverdeling en verplaatsingen van deze constructie uit als functie van \(B_{\rm{v}}\)
Solution
Met behulp van het gegeven vrijlichaamsschema kunnen de dwarskracht net links van C, het moment in C en de dwarskracht net links van B worden bepaald als functie van \(B_{\rm{v}}\):
De zakking, \(w_{\rm{C}}\), en rotatie, \(\varphi_{\rm{C}}\), in C kunnen worden gevonden door de kracht \(B_{\rm{v}}\) te verplaatsen van B naar C met toevoeging van een moment, zie het onderstaande vrijlichaamsschema:
Fig. 104 Vrijlichaamsschema van deel AC#
Met behulp van de vergeet-mij-nietjes voor een uitkragende ligger belast door een kracht en een koppel wordt gevonden:
De zakking in B, \(w_{\rm{B}}\), is dan gelijk aan:
Exercise
Los je vormveranderingsvoorwaarde op om \(B_{\rm{v}}\) te vinden.
Solution
De vormveranderingsvoorwaarde is: \(w_{\rm{B}} = -0.045 \cdot B_{\rm{v}} + 0.675 = 0\).
Hieruit volgt dat \(B_{\rm{v}} = 15 \rm{kN}\)
Statisch bepaald systeem 2#
Exercise
Ga nu uit van het volgende statisch bepaalde systeem:
Fig. 105 Statisch bepaalde constructie met vormveranderingsvoorwaarde, \(EI_{\rm{AC}} = 1800 \ \rm{kNm}^2, EI_{\rm{BC}} = 900 \ \rm{kNm^2}\)#
Los de krachtsverdeling en verplaatsingen van deze constructie uit als functie van \(M_{\rm{C}}\)
Solution
De uitdrukkingen voor \(B_{\rm{v}}\) en \(V_{\rm{C}}^{\rm{AC}}\) kunnen worden afgeleid uit evenwicht van het deel BC.
De rotatie net links van C, \(\varphi_{\rm{C}}^{\rm{AC}}\), en de zakking in C \(w_{\rm{C}}\) kunnen worden bepaald met de vergeet-mij-nietjes voor een uitkragende ligger belast door een koppel en door een puntlast, zie het onderstaande vrijlichaamsschema:
Fig. 106 Vrijlichaamsschema van deel AC#
De rotatie net rechts van C, \(\varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}}\), wordt veroorzaakt door buiging van deel BC ten gevolge van \(M_{\rm{C}}\) en door de zakking in C, \(w_{\rm{C}}\). De rotatie ten gevolge van de buiging kan worden bepaald met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel.
Exercise
Los je vormveranderingsvoorwaarde op om \(M_{\rm{C}}\) te vinden.
Solution
De vormveranderingsvoorwaarde is: \(\varphi_{\rm{C}}^{\rm{AC}} = \varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}} \rightarrow -0.0025 \cdot M_{\rm{C}} + 0.135 = 0.0025 \cdot M_{\rm{C}} -0.09\).
Hieruit volgt \(M_{\rm{C}} = 45 \rm{kNm}\).
Krachtsverdeling en verplaatsingen statisch onbepaald systeem#
Exercise
Los nu de volledige krachtsverdeling en verplaatsingen op met de resultaten van een of beide van je statisch onbepaalde systemen.
Solution
De onbekenden kunnen worden opgelost met verticaal- en momentenevenwicht van de hele constructie en met behulp van de eerder opgestelde vergelijkingen.