Lesson October 23th

During today’s lesson you’ll work on an exercise on the topic of Stiffness influences and Support settlement. Please ask your questions regarding the homework as well!

Attribution

Deze oefening is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CTB2210/2025/steunpuntszetting_stijfheden/lesoefeningen.html. Deze oefening is niet vertaald omdat er geen Engelstalige studenten zijn in de klas.

Exercise Support settlement

Gegeven is de volgende constructie:

Fig. 167 Constructie, \(EA = 15 \ \rm{MN}\)

Exercise

Gegeven is de volgende uitwerking:

\(N_{\rm{BD}} = \cfrac{90}{6000} \cdot 15000 = 225 \ \rm{kN}\)

Evenwicht van knoop D levert:

• \( N_{\rm{AD}} = -281.25 \ \rm{kN}\)

• \( N_{\rm{CD}} = -168.75 \ \rm{kN}\)

Hieruit volgt:

• \(\Delta L_{\rm{AD}} = \cfrac{-281.25 \cdot 7.5}{15000} = -0.109125 \ \rm{m}\)

• \(\Delta L_{\rm{CD}} = \cfrac{-168.75 \cdot 6}{15000} = - 0.0675 \ \rm{m}\)

Met als resultaat:

• Horizontale verplaatsing van \(\rm{D}\) van \(67.5 \ \rm{mm}\) naar rechts

• Verticale verplaatsing van \(\rm{D}\) van \(109.125 \cdot \cfrac{4}{5} = 87.3 \ \rm{mm} \) naar beneden

Solution

• De normaalkracht in \(\rm{BD}\) is niet juist berekend

  • De verlenging van \(\rm{BD}\) is niet enkel afhankelijk van de verplaatsing van knoop \(\rm{B}\)

• De normaalkrachten in \(\rm{AD}\) en \(\rm{CD}\) zijn niet juist berekend

• De verlengingen van de staven \(\rm{AD}\) en \(\rm{CD}\) zijn niet juist berekend

• De verplaatsing van knoop \(\rm{D}\) is niet juist berekend

  • Om de verplaatsing van knoop \(\rm{D}\) te berekenen dient Williot te worden gebruikt

Exercise

Wat is de graad van statisch onbepaaldheid?

Solution

Fig. 168 Er zijn 6 onbekende krachten.

Fig. 169 Er zijn 5 evenwichtsvergelijkingen.

De constructie is 1ste graads inwendig statisch onbepaald.

Exercise

Gekozen is het volgende statisch bepaalde systeem met vormveranderingsvoorwaarde:

Fig. 170 Statisch bepaalde constructie, \(EA = 15 \ \rm{MN}\)

Er is gekozen voor dit systeem zodat we de steunpuntszetting in de vormveranderingsvoorwaarde mee kunnen nemen en niet mee hoeven te nemen in bepalen van krachtsverdeling.

Bepaal de krachtsverdeling en vervormingen als functie van \(B_{\rm{v}}\). Het williot-diagram is gegeven (maar zou je zelf moeten kunnen tekenen).

Fig. 171 Williot diagram voor het bepalen van de verplaatsing van \(\rm{D}\) en \(\rm{B}\).

Solution

De normaalkrachten in de staven AD en CD kunnen met behulp van het knoopevenwicht van \(\rm{D}\) worden uitgedrukt in \(B_{\rm{v}}\).

\[ N_{\rm{BD}} = B_{\rm{v}} \]

\[ \sum F_{\rm{v}} = 0 \rightarrow N_{\rm{AD}} = - \cfrac{5}{4} \cdot B_{\rm{v}} \]

\[ \sum F_{\rm{h}} = 0 \rightarrow N_{\rm{CD}} = - \cfrac{3}{4} \cdot B_{\rm{v}} \]

Nu de normaalkrachten in de staven bekend zijn kan de verlenging/verkorting per staaf worden bepaald. De resultaten zijn weergegeven in de onderstaande tabel.

Staaf	\(N\left(B_{\rm{v}}\right)\) (kN)	\(\Delta L \left(B_{\rm{v}}\right)\rm{(mm)}\)
\(\rm{AD}\)	\(-\cfrac{5}{4} \cdot B_{\rm{v}}\)	\(-\cfrac{5}{8} \cdot B_{\rm{v}}\)
\(\rm{BD}\)	\(B_{\rm{v}}\)	\(\cfrac{2}{5} \cdot B_{\rm{v}}\)
\(\rm{CD}\)	\(- \cfrac{3}{4} \cdot B_{\rm{v}}\)	\(-\cfrac{3}{10} \cdot B_{\rm{v}}\)

Met behulp van de berekende verlenging/verkorting kan het williot diagram worden getekend, zie de figuur hieronder.

Fig. 172 Williot diagram voor het bepalen van de verplaatsing van \(\rm{D}\) en \(\rm{B}\).

Uit het williot diagram kan worden afgelezen:

\[ w_{D,\rm{h}} = 0.0003 \cdot B_{\rm{v}} \ \rm{m} \left(\rightarrow\right)\]

\[ w_{D,\rm{v}} \approx 0.001 \cdot B_{\rm{v}} \ \rm{m} \left(\downarrow\right)\]

\[ w_{B,\rm{h}} = 0 \]

\[ w_{B,\rm{v}} \approx 0.0014 \cdot B_{\rm{v}} \ \rm{m} \left(\downarrow\right)\]

Exercise

Los met de vormveranderingsvoorwaarde de onbekende \(B_{\rm{v}}\) op.

Solution

De vormveranderingsvoorwaarde is: \(w_{B,\rm{v}} = 1.4 \cdot B_{\rm{v}} = 90 \rm{mm}\).

Hieruit volgt: \(B_{\rm{v}} = 64 \rm{kN}\)

Exercise

Los de volledige krachtsverdeling en verplaatsingen op.

Solution

De krachten en verplaatsingen kunnen worden opgelost uit de eerder opgestelde vergelijkingen door daar de berekende waarde voor \(B_{\rm{v}}\) in in te vullen.

\[ N_{\rm{BD}}= 64 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{AD}}= -80 \rm{kN} \]

\[ N_{\rm{CD}}= -48 \rm{kN} \]

\[ w_{D,\rm{h}} = 19 \rm{mm} \left(\rightarrow\right)\]

\[ w_{D,\rm{v}} = 64 \rm{mm} \left(\downarrow\right)\]

\[ w_{B,\rm{h}} = 0 \rm{mm} \]

\[ w_{B,\rm{v}} = 90 \rm{mm} \left(\downarrow\right)\]

Attribution

Deze oefening is aangepast van https://oit.tudelft.nl/CTB2210/2025/steunpuntszetting_stijfheden/lesoefeningen_2.html. Deze oefening is niet vertaald omdat er geen Engelstalige studenten zijn in de klas.

Exercise support settlement and stiffness influences

Gegeven is de volgende constructie:

Fig. 173 Constructie, \(EI = \cfrac{250}{3} \ \rm{MNm^2}\)

Exercise

Wat is de graad van statisch onbepaaldheid?

Solution

De constructie is 2e graads inwendig statisch onbepaald.

Exercise

Voor het geval dat \(nEI \to 0\), bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen:

Solution

Als deel \(\rm{BC}\) geen buigstijfheid meer heeft ontstaan er feitelijk twee losse liggertjes waarvan de linker 25 \(\rm{mm}\) zakt. Dit levert de onderstaande krachten en verplaatsingen:

\[A_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]

\[B_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]

\[C_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]

\[D_{\rm{v}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kN}\]

\[M_{\rm{B}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kNm}\]

\[M_{\rm{D}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{kNm}\]

\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}} \left( nEI \to 0 \right) = 25 \rm{mm}\]

\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{CD}} \left( nEI \to 0 \right) = 0 \rm{mm}\]

Exercise

Voor het geval dat \(nEI \to \infty\), kies zelf een statisch bepaald systeem met vormveranderingsvoorwaardes en bepaal de krachtsverdeling:

Solution

Er wordt gekozen voor het onderstaande statisch bepaalde systeem, waarbij scharnieren en onbekende momentenparen zijn toegevoegd in \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\).

Fig. 174 Statisch bepaald systeem met onbekende momenten, \(EI_{\rm{AB}} = EI_{\rm{CD}} = \cfrac{250}{3} \ \rm{MNm^2}, EI_{\rm{BC}} = \infty\)

De bijbehorende vormveranderingsvoorwaarden zijn:

\[\varphi_{\rm{B}}^{\rm{AB}}=\varphi_{\rm{B}}^{\rm{BC}}\]

\[\varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}}=\varphi_{\rm{C}}^{\rm{CD}}\]

Omdat deel \(\rm{BC}\) oneindig stijf is geldt: \(\varphi_{\rm{B}}^{\rm{BC}}=\varphi_{\rm{C}}^{\rm{BC}}=\cfrac{25}{10000}=0.0025\rm{rad}\)

Met behulp van het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel wordt het volgende gevonden: \(\varphi_{\rm{B}}^{\rm{AB}}=\cfrac{M_{\rm{B}}\cdot10}{3\cdot\cfrac{250}{3}\cdot1000} \rightarrow M_{\rm{B}}=62.5 \rm{kNm}\)

Uit momentenevenwicht van deel \(\rm{AB}\) volgt: \(\sum \left. T \right| _ {\rm{B}} ^{\rm{AB}} = - A_{\rm{v}} \cdot 10 + 62.5=0 \rightarrow A_{\rm{v}} =6.25 \rm{kN}\)

Uit symmetrie volgt: \(M_{\rm{C}}=-M_{\rm{B}}=-62.5 \rm{kNm}\) en \(D_{\rm{v}}=-A_{\rm{v}}=-6.25 \rm{kN}\)

Met momentenevenwicht van de hele constructie kan nu worden bepaald dat \(B_{\rm{v}}=-18.75 \rm{kN}\) en \(C_{\rm{v}}=18.75 \rm{kN}\).

De zakkingen in het midden van de delen \(\rm{AB}\) en \(\rm{CD}\) kunnen worden bepaald uit de superpositie van de vervorming door buiging en de zakking van de opleggingen.

\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{AB}} = 25 + \cfrac{62.5\cdot 10^2}{16\cdot\cfrac{250}{3}}=29.6875 \rm{mm}\]

\[w_{\rm{halverwege} \ \rm{CD}} = - \cfrac{62.5\cdot 10^2}{16\cdot\cfrac{250}{3}}=-4.6875 \rm{mm}\]

Exercise

Voor het geval van variabele \(n\) is het volgende statisch bepaalde systeem:

Fig. 175 Constructie

Solution

De vormveranderingsvoorwaardes zijn:

\[w_{\rm{A}}=25 \rm{mm}\]

\[w_{\rm{D}}=0 \rm{mm}\]

Exercise

Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen als \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) gelijk zijn aan 0 en je de opgelegde zakking/vormveranderingsvoorwaarde voor \(\rm{A}\) negeert.

Solution

Als \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) gelijk zijn aan 0 dan kan de constructie vrij vervormen en onstaat er geen buiging. Hieruit volgt:

\[ M_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0 \rm{kNm} \]

\[ M_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0 \rm{kNm} \]

\[ \varphi_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0.0025 \rm{rad} \]

\[ \varphi_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 0.0025 \rm{rad} \]

\[ w_{\rm{A}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = 50 \rm{mm} \]

\[ w_{\rm{D}} \left( A_{\rm{v}} = D_{\rm{v}} = 0 \right) = -25 \rm{mm} \]

Exercise

Bepaal de krachtsverdeling en verplaatsingen als functie van \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\).

Solution

De momenten \(M_{\rm{B}}\) en \(M_{\rm{C}}\) kunnen worden bepaald door respectievelijk \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) te verplaatsen naar \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\).

\[M_{\rm{B}} = 10 \cdot A_{\rm{v}}\]

\[M_{\rm{C}} = 10 \cdot D_{\rm{v}}\]

De hoekverdraaiingen in \(\rm{B}\) en \(\rm{C}\) kunnen worden bepaald uit een superpositie van de vervorming door buiging en de vrije vervorming zoals in de vorige opgave berekend. Voor de vervorming door buiging wordt het vergeet-mij-nietje voor een ligger op twee steunpunten belast door een koppel gebruikt.

\[ \varphi_{\rm{B}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = -\cfrac{10 \cdot A_{\rm{v}} \cdot 10}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} - \cfrac{10 \cdot D_{\rm{v}} \cdot 10}{6 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + 0.0025 = -0.0004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.0002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.0025 \]

\[ \varphi_{\rm{C}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = \cfrac{10 \cdot A_{\rm{v}} \cdot 10}{6 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + \cfrac{10 \cdot D_{\rm{v}} \cdot 10}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot n\cdot 1000} + 0.0025 = 0.0002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + 0.0004 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.0025 \]

De zakkingen in \(\rm{A}\) en \(\rm{D}\) kunnen worden bepaald uit de superpositie van vrije vervorming van de constructie, vervorming door buiging van deel \(\rm{BC}\) en vervorming door buiging van de delen \(\rm{AB}\) en \(\rm{CD}\).

\[ w_{\rm{A}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = 0.05 + 10 \cdot \left( -0.0004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.0002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} \right) - \cfrac{ A_{\rm{v}} \cdot 10^3}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot 1000} =-0.004 \cdot A_{\rm{v}} -0.004 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} -0.002 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} + 0.05 \]

\[ w_{\rm{D}} \left( A_{\rm{v}}, D_{\rm{v}} \right) = -0.025 - 10 \cdot \left( 0.0002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + 0.0004 \cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} \right) - \cfrac{ D_{\rm{v}} \cdot 10^3}{3 \cdot \cfrac{250}{3} \cdot 1000} =-0.002 \cdot \cfrac{A_{\rm{v}}}{n} + -0.004 \cdot D_{\rm{v}} + -0.004\cdot \cfrac{D_{\rm{v}}}{n} -0.025 \]

Exercise

Los met de vormveranderingsvoorwaardes de onbekende \(A_{\rm{v}}\) en \(D_{\rm{v}}\) op. Let op, dit is een lastige wiskundige exercitie. Je wordt aangeraden gebruik te maken van een tool zoals SymPy.

Solution

Oplossen van de vergelijkingen levert:

\[ A_{\rm{v}}= \cfrac{25 \cdot n}{4 \cdot n + 2} \]

\[ D_{\rm{v}}= -\cfrac{25 \cdot n}{4 \cdot n + 2} \]

Deze functies kunnen ook geplot worden:

Fig. 176 Oplegreacties als functie van \(n\)